4. Относительная линейная независимость и относительный базис.

Пусть S — векторное пространство и Р — его подпространство. Скажем, что векторы линейно независимы относительно Р, если из включения - Следует, что

Предложение 7. Для того чтобы совокупность векторов была линейно независима относительно подпространства Р, необходимо и достаточно, чтобы совокупность , где — базис Р, была линейно независимой.

Действительно, если линейно независимы относительно Р, то из следует, что поэтому и также в силу линейной независимости Обратно если ей линейно независимы, то из следует Ьтвт, откуда

Векторы образуют базис S относительно Р, если они линейно независимы относительно Р и любой вектор представляется в виде их линейной комбинации, с точностью до векторов из Р. Точнее — если , при

Предложение 8. Для того чтобы векторы составляли базис S относительно Р, необходимо и достаточно, чтобы векторы где — базис Р, составляли базис

Действительно, линейная независимость необходима и достаточна для линейной независимости относительно Р. Для того чтобы порождали S с точностью до векторов из Р, необходимо и достаточно, чтобы порождали

Из предложений 7 и 8 следует, что любая совокупность векторов, дополняющая базис Р до базиса S, есть базис S относительно Р. Любая линейно независимая относительно Р совокупность векторов может быть дополнена до базиса S относительно Р. Число векторов, составляющих базис S относительно Р, равно разности размерностей S и Р.