§ 5. Операторы в евклидовом пространстве

1. Комплексификация евклидова пространства.

Пусть S — евклидово пространство и — его комплексификация. Введем скалярное произведение в S по формуле:

Нужно проверить корректность этого определения. Аддитивность по первому аргументу при фиксированном втором очевидна. Для проверки линейности по первому аргументу достаточно убедиться в возможности вынесения комплексного множителя из первого аргумента. Соответствующее вычисление не представляет труда, но довольно громоздко. Именно:

Симметрия с инволюцией очевидна — при перестановке местами вещественная часть скалярного произведения не меняется, а мнимая меняет знак на обратный.

Наконец, если . Таким образом, комплексификация евклидова пространства S становится унитарным пространством.

Заметим еще, что скалярное произведение пары векторов и скалярное произведение пары комплексно сопряженных с ними векторов комплексно сопряженные. Это непосредственно следует из определения скалярного произведения в .

2. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию.

В евклидовом пространстве для оператора определяется сопряженный оператор той же формулой при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора в ортонормальном базисе просто транспонирована с матрицей оператора При продолжении взаимно сопряженных операторов с S на они останутся сопряженными.

Действительно,

3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор в евклидовом пространстве S остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию пространства S. Поэтому в S существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующий матрицу оператора А.

Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т. е. лежащие в S. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения.

Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению при базис из собственных векторов для собственного значения можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для X. Такой базис будет ортонормальный. Теперь натянем на каждую пару и сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство.

Все эти подпространства инвариантны, ортогональны друг другу и вещественным собственным векторам, соответствующим вещественным собственным значениям.

Комплексное пространство, натянутое на векторы и очевидно, совпадает с комплексным подпространством, натянутым на Вещественные векторы u и у, и, следовательно, является комплексификацией вещественного подпространства, натянутого на .

Далее, из ортогональности собственных векторов и принадлежащих различным собственным значениям следует:

ибо в евклидовом пространстве S скалярное произведение симметрично.

Из этого равенства следует, что , т. е. векторы и и v ортогональны, а также . Вспомним теперь, что вектор нормированный, т. е., ввиду ортогональности и и . Поэтому , так что векторы и и v не нормированны, но становятся нормированными после умножения на

Итак, для нормального оператора, действующего в евклидовом пространстве S, существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов, принадлежащих вещественным собственным значениям, и умноженных на вещественных и мнимых частей собственных векторов, принадлежащих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на вещественные собственные векторы, и двумерные, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов, инвариантны, так что матрица оператора в построенном базисе квазидиагональна и составлена из диагональных блоков первого и второго порядка. Блоки первого порядка — это вещественные собственные значения. Найдем блоки второго порядка. Пусть и — собственный вектор, принадлежащий собственному значению . Тогда

откуда

Ровно те же соотношения сохранятся после умножения векторов на Таким образом, блоки второго порядка имеют вид

Заметим еще, что эти блоки появляются из подпространства, натянутого на сопряженные собственные векторы, принадлежащие сопряженным собственным значениям так что наряду с блоком записанным при помощи собственного значения не нужно включать блок соответствующий собственному значению

4. Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.

Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны. Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплексификации. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. V в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное произведение выражается через координаты вектора в ортонормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора М в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково:

ибо для ортогональной матрицы

Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и их доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства.

Поэтому ограничимся их перечислением.

Самосопряженный оператор положительно определен в том и только в том случае, когда его собственные значения положительны.

Из самосопряженного положительно определенного оператора можно извлечь положительно определенный квадратный корень.

Любой невырожденный оператор можно представить в виде произведения положительно определенного самосопряженного оператора на ортогональный, как в одном, так? и в другом порядке.

Оператор ортогонального проектирования есть самосопряженный идемпотентный оператор и обратно, самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.

5. Ортогональные операторы.

Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормальном базисе. Так как ортогональный оператор нормален, существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора блочно-диагональна и состоит из вещественных чисел на диагонали и блоков вида ортогональности такой матрицы следует, что и в каждом блоке второго порядка (Это можно увидеть также из того, что ортогональный оператор становится унитарным при продолжении на комплексификацию, и, следовательно, все его собственные значения равны 1 по модулю.)

Можно положить . Оператор на плоскости с матрицей есть оператор вращения плоскости на угол .

Ортогональный оператор называется собственно ортогональным, если определитель его матрицы равен 1; если же определитель равен —1, то оператор называется несобственно ортогональным. Порядок базисных векторов можно выбрать так, чтобы по диагонали следовали сначала 1, потом —1 и за ними блоки второго порядка. В случае, если оператор собственно ортогонален, число диагональных элементов, равных —1, четно. Матрицу второго порядка рассматривать как блок второго порядка геометрически означающий поворот плоскости на .

Таким образом, действие собственно ортогонального оператора геометрически означает следующее. Пространство разбивается в ортогональную сумму подпространств, одно из которых натянуто на собственные векторы, принадлежащие собственному значению 1, — это подпространство неподвижных векторов, и нескольких двумерных подпространств, каждое из которых вращается на некоторый угол (вообще говоря, разные плоскости на разные углы).

В случае несобственно ортогонального оператора имеется еще один базисный вектор, переходящий в противоположный под действием оператора.