ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА

§ 1. Существование корней в С

1. Элементы теории пределов для комплексных чисел.

В настоящей главе полиномы рассматриваются только над полями и R как функции от комплексной или вещественной переменной, так что эта глава является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т. е. установление алгебраической замкнутости поля ) носит название основной теоремы алгебры.

Выше, в § 5 гл. II, было дано определение предела последовательности комплексных чисел как такого числа , что . Предельное соотношение равносильно соотношению ибо

Последовательность такая, что при некотором R, называется ограниченной.

Для вещественных переменных известна теорема Больцано — Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

Действительно, пусть — ограниченная последовательность, т. е. . Тогда так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходится, и ее предел равен а

2. Доказательство основной теоремы.

Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть — полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной z.

Представим себе «график» функции считая, что значения z изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси w. Мы установим, что являются непрерывными функциями от на всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной z называется непрерывной в точке если достаточно близким к значениям z соответствуют сколь угодно близкие к значения . В более точных терминах — для любого найдется такое что , как только

Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором и, тем самым, , т. е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности, расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости ибо тогда она не была бы самой низкой. Следовательно, и, следовательно, т. е. 20 есть корень полинома f(z).

Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином с нулевым свободным членом. Тогда для любого найдется такое что , как только

Доказательство. Пусть Тогда Положим . Если , то , что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство. Пусть дан полином и точка Расположим полином по степеням

Тогда , так что

Правая часть есть полином от с нулевым свободным членом.

По лемме 1 для любого найдется такое , что как только , что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция. Доказательство. Из неравенства следует, что для данного то , которое «обслуживает» подходит и для Действительно, при имеем

Лемма 4 (о возрастании модуля полинома). Если — полином, отличный от константы, то для любого существует такое что как только

Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга

Доказательство. Пусть , где полином от с нулевым свободным членом. В силу леммы 1 для найдется такое что при будет . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при будет . Возьмем . Тогда при будет

Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т. е. существует такое , что при всех

Доказательство. Обозначим точную нижнюю грань через . Возьмем последовательность стремящуюся к сверху. Каждое из этих чисел не является нижней гранью значений ибо — точная нижняя грань. Поэтому найдутся такие, что Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для найдем такое R, что при будет Отсюда следует, что при всех k. Последовательность оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность Пусть ее предел равен Тогда в силу непрерывности Кроме того, Поэтому Итак , что и требовалось доказать.

Лемма 6 (лемма Даламбера). Пусть — полином, отличный от константы, и пусть . Тогда найдется такая точка что

Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

Доказательство. Расположим полином по степеням :

Тогда . Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого «откусить кусочек» от а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть — первое отличное от нуля слагаемое после , так что (если ). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда

Здесь есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для найдется такое , что как только .

Положим Тогда . Выберем так, что Для этого нужно взять . Далее, положим , т. е. возьмем . При таком выборе будет — Теперь положим при . Тогда и

Лемма доказана.

Заметим, что с тем же успехом мы могли взять при , так что при (т. е. в случае, когда — корень кратности полинома имеется k направлений спуска по поверхности . Они разделяются k направлениями подъема при . Действительно, в этих направлениях . Так что если есть корень производной кратности , то поверхность в окрестности точки «гофрирована» так, что на ней имеется k «долин» спуска, разделенных к «хребтами» подъема.

Теорема. Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньшей мере один комплексный корень (т. е. поле комплексных чисел алгебраически замкнуто).

Доказательство. Пусть — данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, — точка, в которой она существует по лемме 5. Тогда ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка что , что невозможно.