5. Факторпространство.

Пусть S — векторное пространство и Р — его подпространство. Скажем, что векторы сравнимы по подпространству Р (и запишем ), если Ясно, что S «расслаивается» на классы сравнимых по Р векторов. Далее, если , то . Это обстоятельство делает корректным определение операции взятия линейных комбинаций на классах сравнений по Р. Ясно, что классы образуют векторное пространство по отношению к этой операции. Оно называется факторпространством и обозначается . Если отвлечься от операции умножения элементов факторпространства на элемент основного поля, есть факторгруппа аддитивной группы (т. е. группы относительно сложения) пространства S по аддитивной группе подпространства Р.

Предложение 9. Классы по Р, содержащие базис S относительно Р, образуют базис Обратно, элементы, взятые по одному из классов базиса составляют базис S относительно Р.

Действительно, включение равносильно сравнению и равенству (черточка обозначает переход к классам сравнений по Р), так что линейная независимость относительно Р равносильна линейной независимости элементов факторпространства. Равенство при равносильно сравнению и равенству в факторпространстве.

Отсюда следует, в частности, что размерность факторпространства равна разности размерностей S и Р.