2. Степенные суммы.

Пусть . Вспомним, что

Вычислим воспользовавшись схемой Хорнера. В результате последовательно получим коэффициенты частного:

Таким образом, коэффициент при равен

Выполнив сложение по i, получим в качестве коэффициента при выражение

где обозначают суммы соответствующих степеней Приравнивая это выражение к коэффициенту при , получим:

откуда

Эти формулы Ньютона позволяют последовательно выражать степенные суммы через основные симметрические полиномы для k от 1 до .

Для аналогичные формулы выводятся еще проще. Умножив равенство на , получим

Просуммировав по i, получим: