§ 2. Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Геометрическое изображение.

Комплексное число естественно изобразить точкой на плоскости, приняв числа <эа и b за координаты точки, изображающей число а. При этом каждому комплексному числу соответствует точка и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Вещественные числа изображаются точками с равными нулю ординатами, т. е. точками, лежащими на оси абсцисс. На оси ординат располагаются изображения «чисто мнимых» чисел . Началу координат соответствует число 0.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, нарывается плоскостью комплексной переменной. Ее ось абсцисс называется вещественной осью, ось ординат — мнимой осью в соответствии с наименованиями чисел, изображения которых лежат на этих осях.

Наряду с изображением комплексных чисел точками на плоскости удобно с каждым комплексным числом связывать вектор, исходящий из начала координат в точку, изображающую это число (т. е. радиус-вектор этой точки). Компоненты а и b комплексного числа а + bi являются, очевидно, проекциями (алгебраическими, с учетом знаков) этого вектора на оси координат. Как известно, проекция суммы векторов (в смысле векторного сложения) на любую ось равна сумме проекций слагаемых. Поэтому сумма векторов, изображающих комплексные числа есть вектор, изображающий сумму этих чисел, так как компоненты числа равны суммам соответствующих компонент слагаемых (рис. 1).

Рис. 1.