§ 3. Некоторые общие понятия алгебры

1. Группы.

В теории сравнений мы встретились с новым явлением, имеющим большую принципиальную важность. Мы обнаружили математические объекты, именно, классы по модулю, не являющиеся числами, но над которыми мы имеем возможность совершать алгебраические действия. Свойства этих действий напоминают свойства действий над числами. Подобного рода системы объектов возникают в математике в разнообразных ситуациях, и это делает естественной и необходимой формализацию Возникающих на этом пути более общих понятий.

Полугруппой называется множество, в котором определено действие, сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов третий — результат действия. Действие предполагается ассоциативным. Полугруппами являются: множество целых неотрицательных чисел относительно действия сложения, то же множество относительно действия умножения (это совсем другая полугруппа), множество классов по модулю относительно умножения. Во всех этих примерах действие коммутативно.

Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный элемент такой, что при всех а из группы (через обозначен знак действия), и для каждого элемента а существует обратный такой, что

Примерами групп могут служить: группа всех целых чисел относительно сложения, группа положительных рациональных чисел относительно умножения, группа классов по модулю относительно сложения, группа примитивных классов по модулю относительно умножения. Все эти группы коммутативны. В качестве примера некоммутативной группы рассмотрим множество непрерывных строго возрастающих функций на [0, 1], со значениями , т. е. функций, осуществляющих взаимно однозначные отображения промежутка [0, 1] на себя, по отношению к действию суперпозиции, т. е. подстановки функции в функцию, так что . Нейтральным элементом здесь является функция осуществляющая отображение каждой точки промежутка на себя. Обратным элементом является обратная функция, ассоциативность очевидна. Рассмотрим функции и . Обе они принадлежат рассматриваемому множеству. Далее, , а . Это разные функции, так что данная группа некоммутативна.

Коммутативные группы называются также абелевыми.

Действие в группе обозначается обычно как умножение (мультипликативная запись), иногда как сложение (аддитивная запись). Аддитивная запись применяется только для абелевых групп. Нейтральный элемент при мультипликативной записи обозначается 1, при аддитивной записи 0. Соответственно, обратный к а элемент в мультипликативной записи обозначается в аддитивной — через (и называется противоположным элементом).