§ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной

1. Определение показательной функции.

Показательная функция вещественной переменной (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений — как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое значения для по правилам . Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной функции определяется при помощи корней: . Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа — с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, — совершенно непонятно.

Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.

У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием , именно,

Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.

Известно, что при вещественном имеет место предельное соотношение: . В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для . Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность считается сходящейся, если сходятся последовательности вещественных и мнимых частей и принимается

Найдем . Для этого обратимся к тригонометрической форме причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка . При таком выборе ясно, что ибо . Далее,

Теперь

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Далее,

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая — к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на —b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа.

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме можно записать в форме Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, Поэтому естественно считать, что так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью — его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента — аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Введенная таким образом логарифмическая функция определена для всех комплексных чисел, за исключением нуля. Необходимо только помнить, что логарифмическая функция многозначна, в силу многозначности аргумента. Однозначность можно было бы установить, например, выбирая ветвь логарифма, для которой , но это приводит к ряду неудобств. В частности, свойство логарифма — логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей — верно лишь с учетом многозначности.

Так, например, один из значений является 0, одним из значений является , ибо Однако Это одно из значений логарифма 1 (ибо ), но отличное от 0.

4. Показательная функция с произвольным основанием.

Пусть а — комплексное число, отличное от нуля. Тогда при любом значении . Поэтому естественно считать по определению Это снова многозначная функция от , в силу многозначности а, который определен с точностью до слагаемого Посмотрим, например, чему равно Так как Результат кажется несколько парадоксальным — все значения «очень мнимого» выражения вещественны.