§ 2. Расширение полей

1. Простое расширение поля.

Пусть дано поле К, содержащее его поле и Рациональные дроби поля не имеющие а полюсом, имеют значения в а, принадлежащие полю Множество значений всех дробей образует, очевидно, поле. Действительно, если а не является полюсом для и для , то а не будет полюсом для их суммы, разности и произведения, так что если значения и в а имеют смысл, то имеет смысл значение в а для их суммы, разности и произведения.

Далее, если , то так что дробь у не имеет а полюсом и имеет значение в а. Ясно, что . Так построенное поле обозначается через и называется простым расширением поля посредством присоединения а.

Элемент называется трансцендентным относительно поля К, если он не является корнем какого-либо ненулевого полинома с коэффициентами из К. Если же а является корнем некоторого полинома из , то а называется алгебраическим относительно К. Алгебраический элемент а является корнем однозначно определенного неприводимого полинома . Действительно, если при некотором и — разложение f на неприводимые над К множители (допускаются равные множители), то и, так как все принадлежат полю , должен равняться нулю один из сомножителей . Если два нормализованных неприводимых полинома имеют корнем а, то они не взаимно просты и, следовательно, совпадают.

Числа, трансцендентные и алгебраические над полем Q рациональных чисел, носят названия, соответственно, трансцендентных и алгебраических чисел. Так, числа алгебраические, в то время, как числа трансцендентные, что доказано в работах выдающихся ученых 19-го и 20-го веков.

Простые расширения, получающиеся посредством присоединения трансцендентного элемента, называются простыми трансцендентными расширениями, расширения же посредством алгебраического элемента называются простыми алгебраическими расширениями. Рассмотрим подробнее строение простых трансцендентных и алгебраических расширений.

Если трансцендентен относительно К, то а не может быть полюсом ни одной из дробей поля ибо не может быть корнем полинома, находящегося в знаменателе. Поэтому каждая дробь имеет значение Разные дроби имеют разные значения. Действительно, если то , откуда следует, что полином равен нулю в силу трансцендентности а, так что дроби и равны.

Итак, между дробями поля и их значениями в а имеется взаимно однозначное соответствие, которое, очевидно, сохраняется при действиях сложения и умножения. Таким образом, поле и поле изоморфны. Тем самым мы установили, что все простые трансцендентные расширения изоморфны между собой, ибо они все изоморфны полю дробей

Разумеется, само поле тоже является простым трансцендентным расширением поля К, ибо не является корнем полинома с коэффициентами из К (в качестве объемлющего поля , содержащего поле К их, можно взять само ).

Пусть теперь алгебраично над К и — неприводимый над К полином, корнем которого является а. Пусть, далее, — несократимая дробь, для которой а не является полюсом, т. е. . Это значит, что полином g взаимно прост с неприводимым над К полиномом . Поэтому существуют полиномы такие, что Переходя к значениям при , получим , так что

Таким образом, значение дроби оказывается равным значению полинома . Далее, полиномы из имеют одинаковые значения а в том и только в том случае, когда они сравнимы по модулю . Действительно, если , то . Обратно, если , то полином имеет общий корень с неприводимым над К полиномом и, следовательно, делится на него, т. е. Итак, мы получили взаимно однозначное соответствие между классами по модулю и значениями полиномов в точке а. Ясно, что это соответствие сохраняется при сложении и при умножении. Таким образом, алгебраическое расширение оказывается изоморфным полю вычетов кольца по модулю неприводимого полинома корнем которого является а.

Таким образом, это поле вычетов оказывается абстрактной изоморфной моделью, не зависящей ни от того поля , из которого взято а, ни от выбора корня полинома Так, например, полином неприводимый над полем рациональных чисел (если бы был приводим, то имел бы рациональный линейный множитель и рациональный корень), имеет в поле С комплексных чисел три корня где но все три поля изоморфны полю вычетов кольца по модулю полинома и, следовательно, изоморфны между собой, хотя множества чисел, их составляющих, различны. Так, поле состоит только из вещественных чисел, а элементами поля кроме элементов Q, являются комплексные числа с отличной от нуля мнимой частью.

Заметим еще, что поле С комплексных чисел получается из поля R вещественных чисел присоединением корня неприводимого над R полинома . Поэтому оно изоморфно полю вычетов кольца по модулю полинома Это дает один из способов обоснования понятия комплексного числа. (Комплексными числами называются классы вычетов кольца по полиному

Обозначив класс, содержащий х, через i, получим, что все комплексные числа имеют вид при . Так как , то и т. д.).

Вычисление, посредством которого значение дроби — на алгебраическом элементе преобразуется в значение полинома, называется исключением иррациональности в знаменателе.

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе выражения , где а — корень полинома .

Мы знаем, что результат может быть единственным образом представлен в виде . Записав равенство получим, что .

Далее, . Поэтому

В силу однозначности записи в виде полинома от а не выше второй степени, получаем

Получилась система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, и мы знаем заранее, что она имеет единственное решение. Мы легко его найдем: . Итак,