ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ

§ 1. Полиномы с целыми коэффициентами

Полиномы с рациональными коэффициентами и полиномы с целыми коэффициентами тесно связаны между собой, ибо каждый полином с рациональными коэффициентами может быть превращен в полином с целыми коэффициентами посредством умножения на общий знаменатель коэффициентов. Изучение кольца полиномов с целыми коэффициентами интересно также потому, что есть простейший пример кольца полиномов над факториальным кольцом.

1. Рациональные корни полиномов с целыми коэффициентами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем полинома аохп с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена, а знаменатель q — делителем старшего коэффициента.

Доказательство. Пусть Тогда . Таким образом, число делится на в кольце целых чисел. По условию q и взаимно просты, следовательно, делится на . Аналогично, из равенства

заключаем, что делится на

Доказанная теорема дает возможность найти рациональные корни полинома с целыми (следовательно, и с рациональными) коэффициентами в конечном числе действий. Именно, нужно найти все делители свободного члена и все делители старшего коэффициента, составить из них несократимые дроби и испытать посредством подстановки в полином. Если во всех случаях испытание даст отрицательный результат, то это значит, что полином не имеет рациональных корней. Сделанное в теореме предположение о неравенстве нулю свободного члена не ограничивает общности: если свободный член и, быть может, еще несколько младших коэффициентов обращаются в 0, то можно вынести из полинома надлежащую степень так, чтобы после вынесения остался полином с отличным от нуля свободным членом.

Этот полином будет иметь те же ненулевые корни, что и исходный.

Отметим следующее следствие. Если то все рациональные корни полинома являются целыми числами, именно, делителями свободного члена.

Пример. . Кандидатами в корни, согласно теореме, являются числа 1, —1, 3, —3, 1/3, —1/3. Подстановка в полином дает, что корнями являются 3 и 1/3.

2. Редукция полиномов с целыми коэффициентами по числовому модулю.

Пусть — целое положительное число. Два полинома называются сравнимыми по модулю , если все коэффициенты их разности делятся на . Полиномы разбиваются на классы сравнимых по модулю m. Все коэффициенты полиномов из одного класса определены с точностью до целых кратных , т. е. класс естественно отождествляется с полиномом, коэффициенты которого принадлежат кольцу вычетов Совершенно ясно, что если , то . Поэтому для классов по модулю естественным образом определяются сложение и умножение, и эти действия совпадают с действиями сложения и умножения полиномов с коэффициентами из кольца вычетов

Особый интерес представляет редукция по простому модулю, так как в результате редукции получаются полиномы над полем и их множество образует область целостности.

Полином из называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Так, полином примитивен, а не примитивен.

Предложение 2 (лемма Гаусса). Произведение двух примитивных полиномов есть примитивный полином.

Доказательство. Пусть примитивные полиномы. Допустим, что их произведение не примитивно. Обозначим через какой-либо простой делитель наибольшего общего делителя коэффициентов Тогда (черточка обозначает результат редукции). Так как кольцо полиномов над полем есть область целостности, один из сомножителей должен равняться нулю, а это значит, что все коэффициенты или делятся на , что противоречит предположению о примитивности.

3. Теорема Гаусса и факториальность кольца Z[x].

Предложение 3. Пусть — примитивный полином, b — рациональное число такое, что имеет целые коэффициенты. Тогда b — целое число.

Доказательство. Пусть b — несократимая дробь. По условию, все числа — целые .

Числа с и d взаимно просты, следовательно, все - делятся на d, что возможно только при в силу примитивности f.

Теорема 4 (теорема Гаусса). Если полином с целыми коэффициентами раскладывается на два множителя над полем рациональных чисел, то он может быть разложен на множители с целыми коэффициентами, именно, представлен в виде произведения целого числа на произведение примитивных полиномов.

Отсюда следует, что если полином с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он приводим и над кольцом целых чисел.

Доказательство. Пусть где — полиномы с рациональными, быть может дробными, коэффициентами. Обозначим через общие знаменатели коэффициентов полиномов . Тогда , где h и h имеют уже целые коэффициенты. Пусть — наибольшие общие делители коэффициентов полиномов и соответственно. Тогда , где и — уже примитивные полиномы. Тогда

По лемме Гаусса есть примитивный полином и, согласно предложению о, рациональное число в действительности целое. Итак, , где b — целое число, и — примитивные полиномы. Теорема доказана.

Очевидно, что результат остается верным, если есть произведение нескольких полиномов с рациональными коэффициентами, именно, после вынесения общих знаменателей коэффициентов и наибольших общих делителей коэффициентов получившихся полиномов мы получим, что f есть произведение целого числа на произведение примитивных полиномов, отличающихся от полиномов исходного разложения лишь числовыми множителями. Очевидно, что примитивные полиномы могут быть ассоциированы, только если они совпадают или отличаются множителем —1.

Теорема 5. Любой полином с целыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения простых чисел и неприводимых над Q примитивных полиномов. Такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей и присоединения к сомножителям множителя —1.

Действительно, от разложения полинома на неприводимые множители над Q мы можем, в силу теоремы Гаусса, перейти к разложению , где b — целое число, а примитивные полиномы отличаются от полиномов лишь числовыми множителями.

Тем самым сомножители определены однозначно, с точностью до порядка следования сомножителей (который совпадает с порядком следования и множителей ±1. В свою очередь, целое число b, которое равно, в силу леммы Гаусса, наибольшему общему делителю коэффициентов полинома f, однозначно разлагается на простые множители.

Ясно, что простые числа и примитивные неприводимые полиномы являются неразложимыми элементами кольца Тем самым доказана

Теорема 6. Кольцо полиномов с целыми коэффициентами факториально.

4. Задача о приводимости полинома над полем рациональных чисел.

Поставленную задачу достаточно исследовать для полиномов с целыми коэффициентами, ибо любой полином из ассоциирован с полиномом из . Теорема Гаусса позволяет дать способ разложения полинома с целыми коэффициентами на два множителя или убедиться в его неприводимости над Q. Способ этот теоретически прост, но практически довольно громоздок. Опишем его.

Пусть дан полином . Допустим, что он приводим над Q. Тогда существует, согласно теореме Гаусса, его разложение на два множителя с целыми коэффициентами: . Сумма степеней и равна , значит, степень одного из них, положим, , не превосходит . Мы знаем, что полином, степень которого не превосходит k, вполне определяется, если для него известно значение, согласно решению задачи об интерполяции. Возьмем целых значений для

Если произойдет такое счастливое обстоятельство, что одно из выбранных чисел окажется корнем полинома f, то задача решена, приводим, и мы можем написать его разложение на два сомножителя. Положим теперь, что при . Из равенств

заключаем, что числа нам «почти» известны. Действительно, — целые числа, так что является одним из делителей известного нам числа Для имеется конечное число возможностей. Обозначим через h число делителей числа Составим таблицы

расставляя в нижние строки наборы из всевозможных делителей чисел . Число таких таблиц конечно и равно ибо место в нижней строке можно заполнить способами.

Построим для каждой таблицы интерполяционный полином. Если f приводим, то его множитель f 1 найдется среди построенных полиномов. Поэтому, построив интерполяционные полиномы, нужно выбросить те, у которых имеется хотя бы один дробный коэффициент (ибо искомый f 1 имеет целые коэффициенты), а полиномы с целыми коэффициентами испытать посредством деления на них полинома . Если испытание в каком-то случае даст положительный результат, то полином f приводим, и мы нашли его разложение на два множителя. Если же испытание во всех случаях даст отрицательный результат, то полином f неприводим. Тем самым поставленная задача решена в конечном числе действий.

5. Редукционный признак неприводимости полинома.

Теорема 7. Пусть — простое число, и редукция J полинома f по модулю неприводима. Тогда f неприводим над

Доказательство. Если f приводим над Q, то по теореме Гаусса имеет разложение на множители с целыми коэффициентами , где при . Из заключаем, что . Таким образом, Оба полинома отличны от констант. Мы пришли к противоречию с условием, которое и доказывает теорему.

Пример. Легко установить, что полином неприводим по модулю 2. Отсюда следует, что любой полином четвертой степени с нечетными коэффициентами неприводим над

6. Признак неприводимости Эйзенштейна.

Теорема 8. Пусть — простое число, при Тогда f неприводим над

Доказательство. Пусть приводим над Q и пусть f , где — разложение f на множители с целыми коэффициентами, которое существует в силу теоремы Гаусса.

Переходим к редукции по модулю . Ясно, что Одночлен неприводим над и, в силу однозначности канонического разложения над полем, заключаем, что . Поэтому все коэффициенты, кроме старших, полиномов делятся на . В частности, . Следовательно, делится на , что противоречит условию теоремы. Это противоречие доказывает теорему.

Пример при неприводим над Q в силу применимости признака Эйзенштейна для

Пример 2. — простое число. Здесь признак Эйзенштейна непосредственно не применим.

Рассмотрим полином . Ясно, что полиномы приводимы или неприводимы над Q одновременно. Имеем:

Простое входит в числитель всех коэффициентов, начиная со второго, и не входит в знаменатель Поэтому все коэффициенты, начиная со второго, делятся на р, а свободный член не делится на По признаку Эйзенштейна полином g, а вместе с ним и полином f, неприводим над Q.