ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ

§ 1. Основные понятия

1. Определение тензора.

Тензоры представляют собой много компонентные системы, элементы которых занумерованы двумя системами индексов — несколькими верхними и несколькими нижними, каждый из которых пробегает значения от 1 до . Число нижних индексов называется валентностью ковариантности, число верхних — валентностью Хонтравариантности, их сумма — полной валентностью.

Тензоры, у которых отсутствуют верхние индексы, называются чисто коварйантными, у которых отсутствуют нижние — чисто контравариантными. Если присутствуют те и другие, тензор называется смешанным. Так, компоненты трижды ковариантного и дважды контравариантного тензора имеют вид . Тензоры считаются связанными с -мерным векторным пространством, в котором выбран базис, таким образом, что компоненты тензора при фиксированных индексах, кроме одного верхнего, образуют координаты вектора в выбранном базисе, компоненты же при фиксированных индексах, кроме одного нижнего, образуют координаты ковектора в дуальном базисе. При замене базиса компоненты тензора изменяются в соответствии с приведенным истолкованием индексов, нумерующих компоненты тензора.

В соответствии с данным определением набор координат вектора следует рассматривать как контравариантный тензор валентности 1 и нумеровать их следует верхними индексами.

В матрице преобразования координат элементы каждого столбца являются координатами векторов, именно, векторов нового базиса относительно исходного. Поэтому строки матрицы преобразования координат следует нумеровать верхними индексами. Элементы же каждой ртроки можно рассматривать как координаты ковекторов, т. е. линейных функций, посредством которых исходные координаты векторов выражаются через новые, и нумеровать их нижними индексами. При таких обозначениях матрица преобразования координат имеет вид . Выражения исходных координат через новые имеют вид а выражения новых координат через исходные имеют вид

где — матрица, обратная к

То, что эти две матрицы взаимно обратны, можно записать в форме . Здесь — символ Кронекера, т. е. при — единичная матрица. Ввиду того, что обратная матрица является не только левой обратной, но и правой, верно, что

При транспонировании матрицы нужно поменять ролями верхние и нижние индексы. Напомним, что матрица преобразования координат транспонирована с матрицей замены базиса, так что формулы замены базиса имеют вид

(суммирование по верхнему индексу матрицы ), а не по нижнему).

Напомним еще, что при преобразовании координат коэффициенты линейной функции , т. е. координаты соответствующего ковектора, преобразуются по формулам

т. е. совершенно по тем же формулам, что формулы замены базиса. Это и дает основание считать набор координат ковектора ковариантным тензором.

В соответствии с данным выше определением тензора и формулами преобразования координат вектора и ковектора мы приходим к следующему правилу преобразования компонент тензора при преобразовании координат:

Здесь суммирование производится по индексам , меняющимся от 1 до .

Это правило изменения компонент при преобразовании координат может рассматриваться и как определение тензора.

2. Сокращенные тензорные обозначения.

В формулах преобразования компонент тензора при преобразовании координат, в частности, наборов координат вектора и ковектора, происходит суммирование при изменении некоторых индексов в одних и тех же пределах — от 1 до , причем во всех рассмотренных в п. 1 ситуациях индекс, по которому осуществляется суммирование, входит два раза — как нижний и как верхний.

Эти обстоятельства делают излишним указание пределов для индекса суммирования и, более того, само употребление знака становится не необходимым, если условиться считать, что как только в выражении встречается одинаковое обозначение для некоторых нижнего и верхнего индекса, то по этому индексу осуществляется суммирование. Так, формула преобразования компонент тензора записывается без знака в виде Действительно, здесь каждый из индексов встречается как верхний и как нижний и, следовательно, по всем этим индексам производится суммирование.

Соответственно, формулы преобразования координат для координат вектора и ковектора записываются в виде Значение ковектора (линейной функции) с координатами h на векторе с координатами записывается в виде . Элементы произведения матриц запишутся в виде

Эти сокращенные обозначения оказываются удобными иногда и за пределами алгебры.

3. Примеры тензоров.

Примеры контравариантного и ковариантного тензоров валентности 1 мы уже видели — это наборы координат вектора в некотором базисе и, соответственно, ковектора в дуальном базисе.

В качестве следующего примера рассмотрим матрицу коэффициентов линейного оператора. Она может рассматриваться как тензор, один раз контравариантный и один раз ковариантный. Действительно, строки матрицы следует занумеровать верхними индексами, столбцы — нижними. Равенство запишется в виде Матричная форма записи матрицы оператора при преобразовании координат совпадает с тензорной записью Суммирование по соответствует умножению справа на матрицу преобразования координат, суммирование по h соответствует умножению слева на обратную матрицу.

В частности, символ Кронекера, связанный с единичным оператором, является тензором, однократно ковариантным и контравариантным. Матрица коэффициентов квадратичной формы, рассматриваемой как функция от координат вектора, есть дважды ковариантный тензор. Действительно, сама квадратичная форма есть . При преобразовании координат заменяются на значение формы превратится в , т. е. ее коэффициенты превращаются в преобразуясь по правилу преобразования дважды ковариантного тензора. Суммирование по j равносильно умножению матрицы формы справа на матрицу преобразования, суммирование по i можно рассматривать как умножение слева на матрицу, транспонированную с матрицей преобразования координат, в полном совпадении с формулой преобразования

Тензор коэффициентов квадратичной формы обладает свойством симметрии , которое, разумеется, сохраняется при преобразовании координат.

Полилинейной функцией от нескольких векторов называется функция, линейная относительно каждого вектора. Рассмотрим полилинейную функцию от трех векторов одного и того же -мерного пространства и двух ковекторов. В координатной записи она имеет вид . Здесь — координаты векторов, координаты ковекторов в дуальном базисе. Набор коэффициентов является тензором, трижды ковариантным и дважды контравариантным.

В следующей главе мы познакомимся с некоторым один раз контравариантным и два раза ковариантным тензором, естественно возникающим в пределах самой алгебры. Тензоры более высоких валентностей играют существенную роль в геометрии римановых пространств и в теоретической физике.