§ 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел

Поле вещественных чисел не алгебраически замкнуто, т. е. не каждый полином с вещественными коэффициентами имеет только вещественные корни. В частности, характеристический полином матрицы может иметь корни с ненулевой мнимой частью, и таким корням не соответствует собственный вектор в исходном пространстве. Поэтому преобразование матрицы оператора к канонической форме Жордана не всегда возможно. Цель настоящего параграфа — вывести достаточно наглядную каноническую форму в этом случае.

1. Комплексификация вещественного пространства.

Пусть S — векторное пространство над полем R. Погрузим его в векторное пространство S над полем С. следующим образом. Введем в рассмотрение формальные суммы при .

Условимся считать, что в том и только в том случае, если и . Определим сложение по формуле и умножение на комплексные числа по формуле . Легко проверить, что множество S всех удовлетворяет по отношению к введенным действием всем аксиомам векторного пространства над полем .G. Пространство S называется комплексификацией пространства Базис пространства S оказывается базисом и для S по отношению к полю G. Действительно, пусть при тогда . Поэтому комплексификация -мерного вещественного пространства оказывается тоже -мерной по отношению к полю

Векторы из S, отождествляемые с векторами из S с нулевой второй компонентой, будем называть вещественными. Векторы будем называть комплексно сопряженными. Легко проверить, что при .

Предложение 1. Если векторы линейно независимы над , то сопряженные векторы тоже линейно независимы.

Действительно, если то откуда и, следовательно,

2. Продолжение операторов, действующих в вещественном пространстве, на комплексификацию.

Пусть М — оператор, действующий в вещественном векторном пространстве S. Продолжим его на комплексификацию по формуле . Покажем, что продолженный оператор останется линейным и над полем . То, что он переводит сумму в сумму, очевидно, нужно только убедиться в том, что комплексный множитель можно вынести за знак оператора. Это легко проверяется. Действительно,

Заметим еще, что вектор, сопряженный с при равен

Предложение 2. Пусть z принадлежит комплексификации S вещественного пространства S с оператором М. Пусть — полином с комплексными коэффициентами, являющийся аннулятором для вектора . Тогда полином с сопряженными коэффициентами есть аннулятор для вектора .

Действительно, переход к сопряженным в равенстве дает , что и доказывает предложение.

Из доказанного предложения следует, что если — корневой вектор, соответствующий комплексному собственному значению , то I — корневой вектор, соответствующий сопряженному собственному значению . Более того, учитывая сохранение линейной независимости при переходе к сопряженным векторам, мы можем заключить, что векторы, сопряженные с каноническим базисом в корневом подпространстве, соответствующем , составляют канонический базис в корневом подпространстве, соответствующем , и каждой «башне» векторов канонического базиса для соответствует башня из сопряженных векторов для .

3. Каноническая форма оператора в вещественном пространстве.

Разобьем пространство S в прямую сумму корневых подпространств для оператора и затем корневые подпространства — в прямые суммы циклических, натянутых на «башни» канонического базиса. Ясно, что для каждого из вещественных собственных значений канонический базис может быть взят в самом пространстве S, и этим базисам соответствуют вещественные блоки Жордана.

Пусть теперь — комплексное собственное значение при — сопряженное собственное значение, Р — подпространство, натянутое на башню канонического базиса корневого подпространства для к, Р — подпространство из сопряженных векторов, входящее прямым слагаемым в корневое подпространство для Я. Сумма подпространств есть прямая сумма, ибо корневые подпространства для различных собственных значений Я и Я пересекаются только по нулевому вектору. Пусть — базис подпространства P. Тогда вместе с составляют базис подпространства . Базис (относительно поля С) составят также вещественные векторы ибо векторы выражаются через них линейно и, обратно, выражаются линейно через . Вещественное подпространство, натянутое на векторы есть пересечение S и . Выясним, как действует оператор на эту совокупность векторов. Вспомним, что Перепишем эти соотношения в форме:

Подставив получим:

Отделив вещественные и мнимые части в этих равенствах, получим:

Таким образом, в рассматриваемом базисе оператору М соответствует матрица

Обозначив диагональные блоки через К и единичную матрицу второго порядка через Е, получим блочно-жорданову форму

Мы рассмотрели одну пару сопряженных башен. Так же можно рассуждать для всех остальных, так что часть канонической матрицы, соответствующей комплексно-сопряженным парам собственных значений, есть квазидиагональная матрица, составленная из блочно-жордановых матриц указанного вида. Вещественным же собственным значениям соответствуют обычные жордановы блоки.