4. Базис и ранг совокупности строк.

Пусть дано конечное или бесконечное множество строк длины . В нем существуют линейш независимые подмножества, содержащие не более строк. Среди них существуют максимальные, содержащие наибольшее строк.

Теорема 6. Все строки данного конечного или бесконечного множества строк длины являются линейными комбинациями строк любого максимального линейно независимого подмножества.

Доказательство. Пусть — строки, образующие максимальное линейно независимое подмножество, и пусть и — какая-либо строка исходного множества. Тогда совокупность и линейно зависима и, как мы видели выше, и есть линейная комбинация

Линейно независимая совокупность строк, линейными комбинациями которых являются все строки рассматриваемого множества, называется базисной или фундаментальной совокупностью, короче, базисом данного множества строк.

Предложение 7. Число строк, составляющих базис, не зависит от его выбора.

Действительно, пусть — два базиса одного и того же множества строк. Так. как — линейно независимая совокупность строк, являющихся линейными комбинациями строк их, должно быть . По тем же соображениям так что , что и требовалось доказать.

Число строк, составляющих базис данной совокупности строк, называется рангом этой совокупности.

Разумеется, тот же термин применяется к совокупностям столбцов.

Предложение 8. Даны две совокупности строк такие, что вторая из них содержит первую. Если их ранги одинаковы, то все строки второй совокупности являются линейными комбинациями строк первой совокупности.

Действительно, выберем базис первой совокупности. Так как ранги равны, выбранные строки образуют базис и для второй совокупности, и все ее строки являются линейными комбинациями этого базиса.