Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Координаты вектора.

Пусть — базис -мерного пространства S над полем К и — произвольный вектор этого пространства. Тогда есть линейная комбинация

Такое представление единственно. Действительно, если , то

и, в силу линейной независимость базиса, т. е.

Коэффициенты называются координатами вектора Координаты вектора будем представлять себе в виде столбца.

Два векторных пространства над одним и тем же полем называются изоморфными, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие (изоморфизм), сохраняющее линейные комбинации. Из определения ясно, что образ при изоморфизме линейно зависимой совокупности векторов будет линейно зависимой совокупностью, образ линейно независимой совокупности будет линейно независимой совокупностью, образ порождающей совокупности будет порождающей совокупностью, и, следовательно, образом базиса будет базис.

Таким образом, изоморфные конечномерные пространства имеют одинаковую размерность.

Сопоставление каждому вектору -мерного пространства 5 столбца из его координат по отношению к некоторому базису осуществляет изоморфизм пространства S и пространства столбцов с элементами из Действительно, это сопоставление взаимно однозначно и сохраняет линейные комбинации. Именно, если вектор имеет координатный столбец и у — столбец , то и , т. е. столбец из координат вектора есть линейная комбинация с коэффициентами столбцов из координат векторов х к у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление