Научная библиотека

§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры

1. Применение подстановки к индексам ковариантного тензора.

Пусть — ковариантный тензор валентности и a — некоторая подстановка чисел . Применив эту подстановку к номерам индексов, мы получим систему чисел, занумерованную индексами , где . Из формул преобразования компонент тензора, которые имеют одинаковый вид для всех индексов, заключаем, что мы снова получим - ковариантный тензор. Операцию применения подстановки к номерам индексов можно рассматривать как обобщение операции транспонирования матрицы.

2. Симметричные тензоры.

Тензор называется симметричным, если он не меняется в результате всех подстановок номеров индексов, т. е. если его компоненты не изменяются при всех перестановках индексов.

Примером симметричного ковариантного тензора валентности m при индексах, меняющихся от 1 до , может служить набор коэффициентов формы степени m от переменных, если сомножители в каждом одночлене рассмотреть во всех возможных порядках и коэффициент разделить поровну по всем записям одночлена. Запись такой формы принимает вид

(верхние индексы мы ставим в скобки, чтобы не перепутать с показателями степени, которые здесь естественно возникают при равных значениях индексов) с симметричным тензором коэффициентов.

Иногда применяется операция симметризации тензора. Эта операция заключается в том, что производятся все подстановок номеров индексов, результаты складываются и делятся на . В результате операции симметризации получается симметричный тензор.

Нетрудно проследить, что тензор коэффициентов произведения двух форм равен результату симметризации произведения тензоров коэффициентов перемножаемых форм.

Симметризацию тензора иногда применяют по части индексов и применяют ее не только к ковариантным, но и к смешанным тензорам, в последнем случае по всем (или части) нижним индексам и отдельно по всем (или части) верхним индексам.

3. Антисимметричные тензоры.

Ковариантный тензор t называется антисимметричным, если две его компоненты, получающиеся одна из другой переменой местами двух индексов, отличаются только знаком. Ясно, что тогда любая компонента с хотя бы одной парой одинаковых значений индексов равна нулю. Далее, если система индексов получается из другой цосредством четной подстановки, то компоненты равны, если же системы индексов связаны нечетной подстановкой, то они отличаются знаком. Полилинейная форма с антисимметричным тензором коэффициентов антисимметрична, т. е. . Если валентность m меньше числа n возможных значений для индексов, то в индексации каждой компоненты встретятся одинаковые значения, так что все компоненты тензора равны нулю.

Интересен случай, когда . В этом случае ненулевые компоненты будут иметь индексы среди которых нет равных, т. е. они представляют собой перестановки чисел . Если положить , то остальные компоненты равны

Соответствующая полилинейная форма будет равна

Подобно симметризации рассматривается антисимметризация, при которой все тензоры, получающиеся при подстановках индексов, складываются со знаками или — в зависимости от четности или нечетности подстановки индексов.