3. Построение ортогональных матриц.

Напомним, что матрица называется ортогональной, если ее столбцы нормированы и попарно ортогональны.

Лемма. Пусть — вещественные нормированные попарно ортогональные столбцы длины , и пусть Тогда существует нормированный столбец ортогональный столбцам

Доказательство. Пусть

и

Запишем требования ортогональности и нормированности в виде уравнений. Придем к системе:

Первые k уравнений образуют линейную однородную систему, причем число уравнений k меньше числа неизвестных . Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть — одно из них . Тогда числа будут удовлетворять всем уравнениям системы, т. е. дадут решение задачи.

Заметим, что условие здесь существенно. При столбцы составляют ортогональную матрицу, она невырожденна, и система для определения окажется несовместной, так что более чем попарно ортогональных нормированных столбцов не может существовать.

Отметим следующие следствия:

Любую матрицу, состоящую из попарно ортогональных нормированных столбцов, можно дополнить до ортогональной матрицы. Действительно, столбцов в такой матрице не может быть больше . Если их , то матрица ортогональна. Если же их меньше , то можно присоединять новые столбцы до тех пор, пока не придем к ортогональной матрице.

В частности, любой нормированный столбец может быть принят за первый столбец ортогональной матрицы.

Пример. Вложить столбец в ортогональную матрицу.

Этот столбец нормирован и к нему нужно пристроить еще два нормированных столбца, ортогональных между собой и ортогональных данному.

Присоединяем их по одному:

Можно взять . Далее,

Из первых двух уравнений находим . Из условия нормированности откуда

Итак, одна из искомых матриц есть

При выборе второго столбца имелся довольно широкий произвол, третий определен с точностью до множителя ±1.