§ 3. Рациональные дроби

1. Определение рациональных дробей и действий над ними.

Дробной рациональной функцией или, короче, рациональной дробью называется частное от деления двух полиномов. Если полиномы рассматривать как функции, в определении дробной рациональной функции нет никаких затруднений. Однако возникают некоторые неприятности при привычном всем действии сокращения дробей. Так, строго говоря, мы должны считать функции как различные, ибо различны их естественные области определения. Однако вторая превращается в первую при сокращении на

Мы рассматривали полиномы не как функции с заранее данной областью определения, а как формальные выражения, над которыми можно совершать действия и преобразования по определенным правилам. Эту же точку зрения нам надлежит принять при рассмотрении рациональных дробей.

Определение. Рациональной функцией над полем «картинку» вида , где f и причем

Введем теперь понятие равенства дробей.

Две дроби — и — считаются равными, если полином равен 0.

Здесь, в отличие от прежних определений равенства для вновь вводимых объектов (комплексных чисел, полиномов и матриц), равенство определяется при помощи некоторого соглашения, а не по тождественности записи. В математике принято называть эквивалентностью или равенством такое отношение между сравниваемыми объектами, которое удовлетворяет следующим требованиям.

1. Рефлексивность: , т. е. объект а равен самому себе.

2. Симметричность: из следует .

3. Транзитивность: из и следует, что т. е. два объекта, равные третьему, равны между собой.

Проверим эти требования для равенства рациональных дробей.

Рефлексивность: , ибо

Симметричность: если ибо

Транзитивность. Если . Действительно, пусть Рассмотрим полином . Он равен ибо Из равенства заключаем, что

т. е. что ибо кольцо есть область целостности.

Из данного определения равенства следует, что при любом полиноме имеет место равенство т. е. в числитель и знаменатель можно вставлять один и тот же множитель или сокращать на общий множитель. Далее, само определение равенства можно сформулировать так: две дроби равны, если от одной из них можно перейти к другой посредством вставки и сокращения.

Действительно, если , то

Заметим еще, что , т. е. все дроби с нулевым числителем равны между собой и равны у.

Обратимся теперь к определениям действий над дробями. Определим сложение дробей:

Это определение совершенно естественно: посредством надлежащих вставок выравниваются знаменатели и затем числители складываются. Однако несмотря на естественность данного определения, нужно проверить его корректность — не изменится ли результат при замене слагаемых на равные.

Пусть . Тогда

Сравним результаты, исходя из определения равенства дробей. Имеем

Результаты сложения оказались равны, так что определение корректно.

Из определения ясно, что сложение коммутативно и ассоциативно. Элемент у играет роль нуля. Действительно, .

Для противоположным является , ибо

Итак, рациональные дроби образуют абелеву группу по отношению к сложению.

Теперь определим умножение столь же естественным образом:

Проверим корректность определения. Пусть

Сравним, согласно определению равенства, дроби и Имеем

Умножение, очевидно, коммутативно и ассоциативно и связано со сложением дистрибутивностью. Проверим последнее:

Элемент является единицей. Действительно,

Далее, всякий отличный от нуля элемент имеет обратный. Действительно, означает, что , т. е. у имеет смысл и

Итак, множество построенных формальных дробей образует поле. Оно называется полем рациональных функций от буквы и обозначается (простые скобки!).

Кольцо естественно вкладывается в поле

Именно, положим , где . Нужно убедиться в корректности этого отождествления, для чего нужно доказать, что оно не вступает в противоречие с определением равенства и определениями действий сложения и умножения. Это легко проверяется: равносильно равенству , т. е. при сложении и умножении дробей вида у получаются результаты, соответствующие результатам тех же действий над полиномами.