3. Степени элемента в ассоциативном кольце.

Пусть В — некоторое ассоциативное кольцо и а — его элемент. Введем в рассмотрение степени а с натуральными показателями согласно следующим определениям: Здесь степени определяются одна за другой и степень определяется после того, как уже определена. Определения такого типа называются индуктивными.

Теорема 2. При натуральных k и m имеет место

Доказательство. Если утверждение теоремы верно согласно определению. При обратимся к методу математической индукции, допустив, что утверждение верно при сумме показателей, меньшей Итак, пусть Тогда в силу ассоциативности. Далее, в силу индуктивного предположения и, наконец, в силу определения степени, что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, в частности, что и т. д.

Степени элемента а коммутируют при умножении, ибо