5. Примеры из геометрии.

Пусть М — множество точек на плоскости и G — группа всех движений плоскости. Стабилизатором точки является группа вращений вокруг этой точки. Между точками плоскости и левыми классами смежности группы всех движений по группе вращений вокруг точки имеется изоморфное соответствие.

Элементарная геометрия изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при движениях. Одно из основных понятий геометрии — расстояние между двумя точками — можно рассматривать как инвариантную величину, связывающую пару классов смежности полной группы движений плоскости по подгруппе вращений.

Можно сказать, что пара групп определяет некоторую геометрию, в которой точками являются левые классы смежности G по Я, а движениями — правые умножения классов смежности на элементы из G. Взгляд на геометрию с точки зрения теории групп был развит немецким математиком Ф. Клейном в конце 19-го века.

Геометрия Лобачевского укладывается в эту схему следующим образом. Рассматривается группа дробно линейных преобразований комплексных чисел, где — вещественные коэффициенты, удовлетворяющие зависимости . Верхняя полуплоскость оказывается однородным пространством для этой группы.

Действительно, если z = х + yi при у > 0, то

так что мнимая часть числа , равная положительна. Легко проследить, что для любой пары комплексных чисел с положительными мнимыми частями найдутся вещественные такие, что Действительно, положив получим равенство, равносильное требуемому:

Можно даже положить Отделив вещественную часть от мнимой, получим два линейных однородных уравнения, связывающих а, Р и Y, из которых найдем

откуда

Положив получим требуемое.

Верхняя полуплоскость, в которой движения определены как указанные дробно-линейные преобразования, является моделью плоскости Лобачевского, эта модель связана с именем Пуанкаре. Стабилизатором точки i является группа, образованная преобразованиями при условии Следовательно, точки плоскости Лобачевского находятся в изоморфном (по отношению к группе движений) соответствии с левыми классами смежности группы дробно-линейных преобразований с вещественными и по подгруппе, составленной из преобразований при .