9. Некоторые следствия из теоремы Крамера.

Следствие 1. Если известно, что система линейных уравнений с неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.

Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение.

Следствие 2. Если система линейных уравнений с неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из ее коэффициентов равен нулю.

Действительно, иначе система имела бы единственное решение.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Однородная система (независимо от числа уравнений) всегда имеет решение, состоящее из нулевых значений для всех неизвестных.

Для однородных систем представляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные, решения»

Следствие 3. Для того чтобы система линейных однородных уравнений с неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю.

Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более чем одно решение, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.