2. Исследование формулы Кардано.

Проведем исследование формулы Кардано в предположении, что коэффициенты и q уравнения являются действительными числами.

Из вида формулы

ясно, что знак выражения должен оказывать существенное влияние на характер корней уравнения. Рассмотрим три случая.

Случай 1. . В этом случае числа оба действительные и они различны. Если значение первого кубического корня взято действительным, то и для второго корня нужно взять тоже действительное значение так как их произведение должно быть действительным числом Таким образом, в этом случае корни будут

Следовательно, — действительный корень, комплексно сопряженные не действительные корни, ибо

Случай 2. . В этом случае числа действительные, но равные.

Действительному значению первого кубического корня должно соответствовать действительное же значение второго, и на этот раз

Комплексные же значения кубических корней нужно подбирать по прежнему правилу, обеспечивающему равенство

Итак:

В этом случае все три корня действительны, но среди них имеются два равных.

Случай . Это возможно только при отрицательном . Пусть где . В этом случае под знаками кубических корней окажутся сопряженные комплексные числа

Для извлечения кубического корня запишем число в тригонометрической форме:

Имеем:

Отсюда и

где . В этом случае откуда

Таким образом, p оказывается числом, сопряженным с а, в чем можно было убедиться из того соображения, что произведение должно равняться действительному числу

Итак,

где

Все три корня оказываются действительными и, как нетрудно видеть, попарно различными. Интересно отметить, что в этом, казалось бы, самом лучшем (в смысле действительности корней) случае комплексные числа появляются по существу, и это было одним из стимулов введения комплексных чисел в математику. Рассмотрим еще примеры.

Пример 3. . Здесь имеется бросающийся в глаза корень Посмотрим, что дает формула Кардано

Ничего похожего на число 1 мы не видим. Однако если знать, что — чем нетрудно догадаться, заранее зная, что исходное уравнение имеет корень 1), то получим

В случае, когда все три корня вещественны, можно доказать, что при алгебраическом решении уравнения третьей степени извлечение кубического корня из комплексного числа неизбежно.

Однако и в первом случае, когда нет необходимости в действии извлечения кубического корня из комплексного числа, как правило, «хорошие» корни, если они есть, формула Кардано преподносит «под маской». Благополучный пример, типа приведенного выше примера 2, является исключением.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4. . Здесь снова «светится» корень Формула Кардано дает:

Правда, и здесь можно «снять маску», если знать, что Если принять это во внимание, получим