§ 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами

1. Пространство, сопряженное с евклидовым пространством.

Пусть S — евклидово пространство. Любому вектору можно поставить в соответствие линейную функцию со значениями . Если , то ибо равенство при всех значит, что при всех что возможно только при . Пусть — координаты вектора в ортонормальном базисе. Любая линейная функция от представляется в виде при некоторых , т. е. в виде , где у — вектор с координатами у и . Таким образом, между векторами из и ковекторами из имеется естественное взаимно однозначное соответствие . Далее, из линейности скалярного произведения по второму аргументу следует, что линейной комбинации векторов соответствует такая же линейная комбинация ковекторов. Таким образом, соответствие задает изоморфизм пространства S и сопряженного с ним пространства

2. Пространство, сопряженное с унитарным пространством.

Так же, как в евклидовом пространстве, устанавливается взаимно однозначное соответствие между векторами и ковекторами по правилу где — линейная функция со значениями

Линейность функции следует из линейности скалярного произведения относительно первого аргумента.

Однако линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ковекторов с сопряженными коэффициентами, в силу свойства . Таким образом, между унитарным пространством и его сопряженным имеется инволюционный изоморфизм, с заменой коэффициентов на сопряженные при линейном комбинировании.