3. Свойства действий.

Теперь нам нужно проверить, что аксиомы II и III согласованы в себе и друг с другом так, что привычныенам свойства действий над числами сохраняются при переходе к комплексным числам.

Именно, мы установим, что комплексные числа образуют поле. При описании свойств действий мы будем придерживаться принятой в § 3 гл. I нумерации аксиом кольца и поля, но при проверке будем несколько отступать от последовательности, предписываемой этой нумерацией.

2. (коммутативность сложения). Действительно, левая часть равна (), правая равна Они равны в силу коммутативности сложения вещественных чисел.

1. (ассоциативность сложения). Действительно, в силу ассоциативности сложения вещественных чисел правая и левая части равны ,

3. , так что пара (0, 0) (отождествляемая с вещественным числом 0) играет роль нуля и при сложении пар.

4. . Поэтому для каждой пары существует противоположная, именно,

7. (коммутативность умножения). Действительно, левая часть равна правая Они равны.

(левая и правая дистрибутивность).

В силу коммутативности умножения достаточно проверить первую из формул 5. Левая часть равна

Правая часть равна

т. e. равна левой части.

6. (ассоциативность умножения). Действительно, левая часть равна

Правая часть равна

т. e. правая часть равна левой.

8.

Таким образом, пара (1, 0) (отождествляемая с вещественным числом 1) играет роль 1 и при умножении пар.

Итак, комплексные числа составляют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Введем теперь понятие сопряженных комплексных чисел. Пары , отличающиеся знаком второй компоненты, называются сопряженными. Умножив сопряженные пары

получим, что их произведение равно неотрицательному числу которое равно нулю только если , т. е. если . Если , то, умножив сопряженную пару на вещественное число мы получим обратную к паре пару, т. е. такую, которая при умножении на дает число 1. Таким образом, верно:

9. Для любой пары , отличной от 0, существует обратная именно,

Итак, мы доказали, что комплексные числа составляют поле.