§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное

1. Сопряженные отображения.

Пусть S и Т — два унитарных пространства и линейное отображение S в Т. Сопряженным с отображением называется отображение Т в S, обладающее свойством при любых и . Выберем в пространствах S и Т ортонормальные базисы. Пусть А — матрица оператора по отношению к этим базисам. Записав скалярные произведения через координаты векторов х и у и сделав такие же преобразования, как в аналогичной ситуации для оператора из S в S, легко получим, что поставленному требованию удовлетворяет оператор, матрица которого сопряжена (т. е. транспонирована к комплексно сопряженной) с матрицей А. Единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора базисов доказывается так же, как для операторов из S в S. Именно, если при любых , то при всех следовательно, при всех , а это и означает, что

Для операции сопряжения верны свойства:

4. Если отображает отображает то для отображающего верно .

Доказательства ничем не отличаются от доказательств аналогичных свойств в ситуации операторов из S в

Предложение 1. Образ оператора есть ортогональное дополнение к ядру оператора

Действительно, если то при любом будет . Обратно, если у ортогонален всем векторам из то при всех следовательно, . Предложение доказано.

В силу симметрии по отношению операции сопряжения, из предложения 1 следует

Предложение 2. Образ оператора есть ортогональное дополнение к ядру оператора

2. Каноническая форма матрицы линейного отображения унитарного пространства в унитарное.

Пусть — линейное отображение унитарного пространства S в унитарное пространство Т и — сопряженное отображение. Рассмотрим оператор отображающий S в S. Он самосопряжен, ибо . Далее, . Действительно, если при , то откуда Таким образом, . Обратное включение тривиально.

Пусть Так как , то Таким образом, отображает на все

Аналогично, отображает на все Очевидно, что ядро М на состоит только из нулевого вектора, и то же имеет место для оператора М на .

Оператор ММ на не только самосопряжен, но и положительно определен. Действительно, при имеет место ибо при .

Положим . В найдем ортонормированный базис из собственных векторов оператора . Тогда причем Положим Векторы попарно ортогональны. Действительно, .

Положим . Векторы не только ортогональны, но и нормированны, Таким образом, векторы образуют базис . Ясно, что

Пусть — ортонормальный базис — ортонормальный базис Q. Тогда совокупности векторов образуют ортонормальные базисы пространств S и Т. По отношению к этим базисам оператор М имеет следующую матрицу:

Числа носят название главных или сингулярных значений оператора М.

На языке матриц полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Для любой комплексной -матрицы А существуют унитарные матрицы В и С такие, что ВАС есть матрица вида М, причем k равно рангу матрицы.

Действительно, любая комплексная -матрица может рассматриваться как матрица линейного отображения -мерного унитарного пространства S в -мерное унитарное пространство Т по отношению к некоторым ортонормальный базисам. Матрицы С и В преобразования координат от исходных базисов к базисам унитарны. В силу формулы преобразования матрицы линейного отображения при преобразованиях координат, в новом базисе матрица вида М выражается посредством формулы . Число равно рангу матрицы А.

3. Обобщенный обратный оператор.

Пусть М — оператор, отображающий -мерное унитарное пространство S в -мерное унитарное пространство Т.

Пусть и Q — те же пространства, что и в п. 2. Полуобратный оператор, построенный исходя из разложений называется обобщенным обратным и обозначается через . В этой ситуации операторы будут операторами ортогонального проектирования, т. е. будут самосопряжены.

Легко видеть, что если оператор действующий из в S, удовлетворяет условиям и самосопряжены, то . Действительно, первые два условия показывают, что есть полуобратный оператор для некоторых разложений , оператор проектирует S на параллельно а оператор проектирует Т на . Из самосопряженности операторов следует, что оба проектирования ортогональны, т. е. . Поэтому .

Если ортонормальные базисы в S и Т выбраны так, что матрица оператора М равна

то, очевидно, будет иметь -матрицу такого же вида, только вместо будут

Понятие обобщенного обратного оператора естественно переносится на матрицы, так как каждую матрицу можно рассматривать как матрицу оператора по отношению к ортонормальный. базисам.

Для вычисления матрицы обобщенной обратной для -матрицы А ранга k, можно, например, поступить так. Представить А в виде произведения -матрицы В ранга k на -матрицу С ранга k. Тогда матрицы ВВ и СС самосопряжены и невырожденны. Легко проверить, что Для этого нужно убедиться в выполнении равенств и в самосопряженности , что не представляет труда.

4. Роль обобщенного обратного оператора в теории систем линейных уравнений.

Сначала введем одно важное понятие. Пусть в унитарном пространстве S даны подпространство Р и вектор . Расстоянием от вектора z до подпространства Р называется минимум длин векторов пример. Пусть при . Тогда , ибо векторы ортогональны. Ясно, что минимум реализуется при и равен Таким образом, расстояние от z до Р равно длине ортогональной проекций вектора z на и реализуется на векторе являющемся ортогональной проекцией z на Р.

Обратимся теперь к системе линейных уравнений. Систему линейных уравнений с неизвестными в векторно-операторной форме можно рассматривать как задачу определения вектора из уравнения где М — оператор из -мерного пространства в -мерное пространство Т, a f — данный вектор в Т. Для систем с комплексными коэффициентами (в частности, с вещественными) пространства S и Т можно рассматривать как унитарные пространства с данными ортонормальными базисами. Вектора удовлетворяющего уравнению может не существовать. Для любого вектора вектор называется вектором невязки. Обобщенным решением или решением в смысле наименьших квадратов называется вектор при котором вектор невязки имеет минимальную длину. Векторы отличающиеся на слагаемые из ядра М, дают один и тот же вектор невязки. Среди них имеется кратчайший. Он называется нормальным обобщенным решением.

Покажем, что вектор дает нормальное обобщенное решение уравнения Действительно, есть ортогональная проекция вектора f на Поэтому на этом векторе невязка имеет минимальную длину. Далее, Поэтому длина любого вектора при квадрат которой равен имеет минимум при

5. Линейное отображение евклидова пространства в евклидово.

Теория линейных отображений евклидова пространства в евклидово ничем не отличается от теории отображений унитарных пространств с заменой унитарных преобразований координат на ортогональные. Имеет место такая же каноническая форма, существует обобщенный обратный оператор, играющий такую же роль, как в комплексном случае, для систем линейных уравнений с вещественными коэффициентами.