2. Исследование формулы извлечения корня.

Теорема 1. Существует ровно значений корня степени из отличного от нуля комплексного числа Их дает формула

в предположении, что k пробегает какую-либо полную систему вычетов по модулю , например,

Доказательство. Мы уже видели, что значения корня степени из а даотся формулой (1). Покажем, что в том и только в том случае, когда . Действительно,

при целом t (аргументы равных чисел равны или отличаются на целые кратные о модулях заботиться не нужно — они одинаковы у всех чисел ). Это равенство, в свою очередь, равносильно . Итак, действительно, в том и только в том случае, если ; и, следовательно, мы получим все различные значения для , если k пробежит значения по одному из каждого класса по модулю , т. е. некоторую полную систему вычетов.

Пример. Найти (один из немногих «хорошо подтасованных» численных примеров).

Имеем . Согласно формуле

Для k достаточно взять значения 0, 1, 2. Получим три значения:

Учитывая, что получим Для вычисления заметим, что , так что

Поэтому

В заключение отметим, что среди значений корня степени из комплексного числа нет оснований, вообще говоря, предпочитать какое-либо одно значение остальным. Понятие «арифметического значения» при извлечении корня из комплексного числа не вводится и его невозможно ввести каким-либо естественным способом

Легко проследить, что упоминавшееся выше «противоречие» имеет своим источником путаницу в выборе значений квадратных корней. Дело в том, что в применении к комплексным числам формула дар верна (при выбранных значениях для ) лишь при одном выборе значения для а при другом выборе она верна и даже в случае, если оказывается вещественным положительным числом, подходящее значение дар не обязано быть арифметическим. В рассмотренном примере игра идет на равенствах: . Первое из них верно, если в качестве значений для обоих сомножителей взять одинаковые значения (т. е. или , второе верно, если взять различные значения (т. е. или ).