4. Идеалы алгебры.

Правым идеалом алгебры А называется подпространство такое, что при любых будет Другими словами, правый идеал алгебры есть подпространство, инвариантное для всех операторов правого умножения. Аналогично определяется левый идеал алгебры. Подпространство, являющееся правым идеалом и левым идеалом одновременно, называется двусторонним идеалом. Ясно, что в коммутативной или в антикоммутативной алгебре все идеалы двусторонние.

Двусторонние идеалы играют в теории алгебр такую же роль, как нормальные подгруппы в теории групп: именно они, и только они, являются ядрами гомоморфизмов алгебр. Гомоморфизмом, или гомоморфным отображением алгебры А в алгебру В называется линейное отображение сохраняющее умножение, т. е. такое, что .

Легко видеть, что ядро любого гомоморфизма алгебры А есть двусторонний идеал. Действительно, если , то , но тогда при любом . Значит, , т. е. есть двусторонний идеал.

Для того чтобы показать, что любой двусторонний идеал есть ядро некоторого гомоморфизма, нужно осуществить построение факторалгебры , т. е. ввести естественным образом действие умножения в факторпространстве . Вспомним, что факторпространство состоит из классов сравнений по модулю J. Линейной комбинацией классов считается класс, содержащий такую же линейную комбинацию представителей, и этот класс не зависит от выбора представителей в силу очевидного свойства сравнений по подпространству. Введем столь же естественным способом действие умножения классов. Именно, произведением двух классов назовем класс, содержащий произведение любой пары представителей от умножаемых классов. Корректность этого определения, т. е. независимость класса от выбора представителей, обеспечивается следующей леммой.

Лемма. Если — двусторонний идеал алгебры А и если , то .

Доказательство ибо есть двусторонний идеал. Лемма доказана.

Итак, в факторпространстве мы ввели умножение. Его линейность относительно каждого из сомножителей следует из билинейности умножения в алгебре . Ясно, что есть гомоморфный образ алгебры при «естественном» отображении, соотносящем каждому элементу содержащий его класс. То что это отображение гомоморфно, следует из определения действий в .

Справедлива также следующая теорема.

Теорема 1. Гомоморфный образ алгебры изоморфен фактор-алгебре по ядру гомоморфизма.

Доказательство почти очевидно — легко проследить, что прообразами будут классы по ядру, т. е. элементы факторалгебры, и их умножение соответствует умножению образов.

Алгебра, не имеющая двусторонних идеалов, кроме себя и нуля, называется простой алгеброй.

Легко видеть, что алгебры с делением могут быть охарактеризованы как алгебры, не имеющие правых (левых) идеалов, кроме себя и нуля, и отличные от алгебры размерности 1 с нулевым умножением.