4. Гомоморфные отображения

Пусть — произвольные группы. Отображение группы G в группу G называется гомоморфизмом (или гомоморфным отображением), если оно произведение переводит в произведение, т. е. если для любых элементов группы G имеет месторавенство

Полагая в этом равенстве мы получим, что , откуда следует, что равно единице группы G. Далее, полагая мы получим, что т. е. что Таким образом, гомоморфизм Переводит единицу в единицу и обратный элемент в обратный.

Взаимно однозначное гомоморфное отображение называется изоморфизмом (или изоморфным отображением). Две группы. называются изоморфными, если существует хотя бы одно изоморфное отображение одной группы на другую. Изоморфные группы обладают одинаковыми алгебраическими свойствами и в общей теории групп рассматриваются как одинаковые (см. Курс, стр. 282 и 395).

Пусть — произвольный гомоморфизм. Очевидно, что для любой подгруппы Н группы G совокупность всех элементов группы G, имеющих вид , где является подгруппой группы G. Эта подгруппа называется образом подгруппы Н при гомоморфизме и обозначается обычно через

В частности, определена подгруппа — образ группы G при гомоморфизме Эта подгруппа называется также образом гомоморфизма и обозначается иногда через .

Если , т. е. если для любого элемента существует такой элемент g (вообще говоря, не однозначно определенный), что то называется эпиморфным отображением (или просто эпиморфизмом) группы О на группу О.

Особое значение эпиморфизмов определяется тем, что любой гомоморфизм можно рассматривать как эпиморфное отображение группы О на подгруппу . Это замечание легко обобщается: для любой подгруппы Н группы О гомоморфизм можно рассматривать как эпиморфное отображение подгруппы Я на подгруппу . Точнее, гомоморфизм определяет некоторое эпиморфное отображение (отображения на элементах подгруппы Я совпадают и отличаются лишь тем, что определено на всей группе О, а — лишь на подгруппе Н).

Пусть опять — произвольный гомоморфизм, и пусть — такие нормальные делители групп О и О соответственно, что Рассмотрим в группе О произвольный смежный класс Любой элемент этого смежного класса при гомоморфизме переходит в элемент принадлежащий смежному классу Таким образом, все элементы смежного, класса переходят в элементы одного и того же смежного класса Обозначим этот однозначно определенный смежный класс через

Тем самым мы определили некоторое отображение

Это отображение гомоморфно, ибо

Мы будем говорить, что гомоморфизм индуцирован гомо? морфизмом Подчеркнем, что он определен только тогда, когда

В частном случае, когда нормальный делитель Н состоит только из единицы группы О, мы получаем, что если то гомоморфизм индуцирует гомоморфизм

Очевидно, что гомоморфизм, индуцированный эпиморфным отображением, является эпиморфизмом.

Рассмотрим теперь совокупность N всех элементов, переходящих при гомоморфизме в единицу группы О. Если , то . Аналогично, если , то Кроме того, если — любой элемент группы О, то т. е. . Таким образом, N является нормальным делителем группы О. Этот нормальный делитель называется ядром гомоморфизма и обозначается через Кегср.

Если , то . Обратно, если , то Но тогда и только тогда, когда а и b принадлежат одному смежному классу по подгруппе N. Таким образом, при гомоморфизме элементы группы О тогда и только тогда переходят в один и тот же элемент группы О, когда они принадлежат, одному смежному классу по ядру гомоморфизма

Если Кегср то гомоморфизм называется мономорфизмом. Из только что доказанного утверждения следует, что мономорфизм переводит различные элементы группы О в различные элементы группы О, т. е. является изоморфным отображением группы О на подгруппу группы О. В частности, отображение одновременно мономорфное и эпиморфное является изоморфизмом, и обратно. Так как для любого гомоморфизма с ядром

то гомоморфизм индуцирует некоторый гомоморфизм

Гомоморфизм определяется формулой

Если то и, следовательно, .

Другими словами, ядро гомоморфизма состоит только из одного смежного класса N — единицы группы , т. е. гомоморфизм является мономорфизмом. Таким образом, любой гомоморфизм индуцирует мономорфизм где .

Если гомоморфизм является эпиморфизмом, то, как мы знаем, гомоморфизм также будет эпиморфизмом, а значит и изоморфизмом. Таким образом, любой эпиморфизм индуцирует изоморфизм где .

Это утверждение известно как теорема о гомоморфизмах.

Группа О называется гомоморфным образом группы О, если существует хотя бы одно эпиморфное отображение группы О на группу О (принято говорить именно «гомоморфный образ», хотя, конечно, более последовательно было бы говорить «эпиморфный образ»). Из доказанного предложения немедленно следует, что любой гомоморфный образ группы изоморфен некоторой ее факторгруппе. Заметим, что обратное утверждение также справедливо: любая факторгруппа группы О является гомоморфным образом группы О.

Для доказательства достаточно построить хотя бы одно эпиморфное отображение группы О на факторгруппу Такое отображение можно, например, определить формулой

Заметим, что так определенное отображение есть не что иное, как отображение, индуцированное тождественным отображением группы О на себя (в общем определении нужно за Н принять единичную подгруппу, а за Н нормальный делитель ).