2. Поле дробностепенных рядов

Пусть, как и выше, Р — произвольное поле характеристики 0. Дробностепенным рядом над полем Р от переменной называется выражение вида

где — произвольное целое положительное число, — возрастающие целые числа

(среди них могут быть и отрицательные, но только в конечном числе), а — некоторые элементы поля Р. Если то дробностепенной ряд есть не что иное, как формальный степенной ряд в смысле п. 1. Так же как и для степенных рядов, мы не считаем различными дробностепенные ряды, отличающиеся членами с нулевыми коэффициентами. Дробностепенные ряды можно складывать и перемножать по тем же правилам, как и формальные степенные ряды, причем, как легко видеть, относительно операций сложения и умножения совокупность всех дробностепенных рядов над полем Р от переменной является кольцом. Оказывается, что кольцо является полем.

Для доказательства достаточно заметить, что любой дробностепенной ряд

можно рассматривать как формальный степенной ряд от переменной

Так как кольцо формальных степенных рядов от переменной S является полем, то для ряда рассматриваемого как степенной ряд от , существует (конечно, если ) такой степенной ряд g от что Заменяя в ряде переменную обратно на мы получим (уже дробностепенной) ряд от для которого

Основное свойство поля описывается следующей теоремой:

Если поле Р алгебраически замкнуто, то и поле также алгебраически замкнуто.

Другими словами, любой многочлен над полем разлагается на линейные множители.

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно доказать, что любой многочлен

над полем степени приводим. Имея это в виду, заметим, что без ограничения общности мы можем предполагать, что в многочлене коэффициент при равен нулю. Действительно, если , то, введя новое неизвестное

мы, как легко видеть, получим многочлен с равным нулю коэффициентом . С другой стороны, при такой замене неприводимый многочлен останется неприводимым, а приводимый — приводимым.

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, т. е. если то многочлен приводим, так что в этом случае теорема верна. Таким образом, мы можем предполагать, что среди коэффициентов есть отличные от нуля. Пусть разложение отличного от нуля коэффициента в дробностепенной ряд от переменной начинается с члена где — некоторое рациональное число (которое может быть и отрицательным). Пусть — наименьшее из чисел . Тогда для любого t (для которого

причем равенство достигается хотя бы для одного l. Произведем теперь замену неизвестного, положив

Тогда, как легко видеть,

где

ибо мы предполагаем, что причем для любого I

Следовательно, разложение отличного от нуля коэффициента начинается с члена

(т. е. члена неотрицательной степени), причем хотя бы для одного I разложение коэффициента имеет свободный член.

Пусть теперь — наименьший общий знаменатель всех показателей, с которыми переменная входит в ряды . Тогда эти ряды можно рассматривать как формальные степенные ряды от переменной , а следовательно, многочлен — как многочлен над полем Очевидно, что этот многочлен (рассматриваемый над полем ) удовлетворяет всем условиям доказанного в конце предыдущего пункта предложения (условие 3) для него выполнено потому, что . Следовательно, над полем этот многочлен приводим, т. е. представляется в виде произведения некоторых многочленов над полем , имеющих положительные степени, отличные от . Полагая в коэффициентах этих многочленов мы, очевидно, получим разложение многочлена в произведение многочленов над полем Тем самым доказано, что многочлен приводим. Для завершения доказательства остается заметить, что из приводимости многочлена немедленно вытекает и приводимость многочлена . Тем самым алгебраическая замкнутость поля полностью доказана.

Наряду с дробностепенными рядами от одного неизвестного можно определить дробностепенные ряды от нескольких неизвестных Совокупность всех дробностепенных рядов над полем Р от неизвестных проще всего определить по индукции:

т. е. определить как поле дробностепенных рядов над полем переменной

Легко можно дать прямое (хотя и несколько громоздкое) определение поля . Например, элементами поля т. е. дробностепенными рядами от двух неизвестных являются выражения вида

Сложение и умножение таких рядов определяются по очевидным правилам.

Если поле Р алгебраически замкнуто, то, как мы знаем, алгебраически замкнуто и поле а потому и поле (как поле дробностепенных рядов над алгебраически замкнутым полем ). По аналогичным соображениям алгебраически замкнуто поле и вообще любое поле . Таким образом, если поле Р алгебраически замкнуто, то поле также алгебраически замкнуто.

В частности, поле дробностепенных рядов от переменных с комплексными коэффициентами алгебраически замкнуто.

Как мы видели выше, поле рациональных дробей от переменной над полем Р является подполем поля формальных степенных рядов. С другой стороны, поскольку любой степенной ряд является также и дробностепенным рядом, то Таким образом,

Отсюда по индукции легко следует, что вообще для любого

Следовательно, в частности, для любого числового поля Р поле рациональных дробей содержится в алгебраически замкнутом поле

Тем самым мы обосновали возможность применения теории Галуа к уравнениям над полями рациональных дробей (с числовыми коэффициентами) и, в частности, к общему уравнению степени (см. гл. 3, п. 6).