2. Транзитивные группы простой степени

Ясно, что группа подстановок, содержащая цикл дланы , транзитивна. Оказывается, что если число является простым числом , то верно и обратное, т. е. любая транзитивная группа подстановок простой степени содержит цикл длины .

Действительно, пусть О — произвольная транзитивная группа подстановок степени . Разобьем множество всех циклов длины , не принадлежащих группе О, на классы, относя циклы к одному классу, если в группе О существует такой элемент b, что . Класс, содержащий цикл а, мы будем обозначать символом Легко видеть, что для любых двух циклов длины , не принадлежащих группе О, соответствующие классы либо совпадают, либо не пересекаются.

Задача. Докажите последнее утверждение.

Пусть теперь — произвольный цикл длины р, не принадлежащий группе О, и пусть b — произвольный элемент группы О. Ясно, что если

то

т. е. подстановка также является циклом длины р. Кроме того, поскольку цикл не принадлежит группе О. Следовательно, формула

определяет некоторое отображение группы О на класс Оказывается, что это отображение взаимно однозначно, т. е. из равенства следует равенство

Действительно, если , то , где . Таким образом, если подстановка b имеет вид (1), то откуда немедленно следует (почему?), что , где k — такое число, что . Если , то существуют такие числа и и v, что (число k взаимно просто с , потому что оно меньше ). Тогда и, следовательно, вопреки предположению, . Поэтому

Таким образом, все классы состоят из одного и того же числа элементов, равного порядку группы О. Поэтому число всех циклов длины , не принадлежащих группе О, делится на порядок группы О и, следовательно (см. п. 1) делится на число . С другой стороны, согласно доказанному в предыдущем пункте, число всех циклов длины равно и поэтому на не делится. Следовательно, группа О непременно содержит циклы длины . Теорема доказана.

Каждый цикл длины , содержащийся в группе О, определяет циклическую подгруппу, состоящую из циклов длины (и тождественной подстановки). Поскольку эти циклические подгруппы пересекаются только по тождественной подстановке общее число циклов, содержащихся в группе О, равно где — число циклических подгрупп порядка группы О. Следовательно, обозначая через число циклов длины , не принадлежащих группе О, мы получаем уравнение

Из этого уравнения вытекает, что

где — произвольное неотрицательное число, меньшее чем .