ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга представляет собой переработанный и значительно расширенный вариант книги автора «Основы теории Галуа», выпущенной в свет Физматгизом в 1960 г. При переработке автор стремился сохранить элементарный характер книги, так что от читателя по-прежнему требуется владение лишь основами высшей алгебры в объеме действующей программы первого курса университетов. К сожалению, автор был лишен возможности пополнить книгу упражнениями. Как и в «Основах теории Галуа», задачи, включенные в текст книги, совершенно тривиальны и предназначены исключительно для самоконтроля читателя.

Теория Галуа по-прежнему излагается для полей, принадлежащих некоторому единому «универсальному», алгебраически замкнутому полю характеристики 0 (для определенности — полю комплексных чисел). Это позволяет избежать трудной для начинающего абстрактной теоремы о существовании и единственности (с точностью до изоморфизма) поля разложения данного многочлена. С другой стороны, при таком изложении фактической потери общности не происходит, поскольку любое поле можно, как известно, включить в алгебраически замкнутое.

При первоначальном изучении теории Галуа серьезные трудности часто возникают также в связи с теоремой о продолжении изоморфизма. Поэтому в этой книге теорема о продолжении изоморфизма во всех случаях заменяется, быть может, более кустарными, но зато значительно более доступными соображениями теории симметрических функций.

Теория групп излагается здесь лишь постольку, поскольку это необходимо для теории Галуа и ее применения.

Отдельные сведения из теории групп вкраплены в текст в тех местах, где они необходимы. Никакого целостного и более или менее исчерпывающего изложения даже отдельных глав теории групп в книге не дается. Однако затронутые вопросы теории групп разобраны со всей тщательностью, иногда даже подробнее, чем это обычно принято.

При изложении теории подстановок подробно доказывается теорема о разложении подстановок в произведение независимых циклов, а понятие четности подстановки вводится на основе рассмотрения разложения подстановки в произведение транспозиций. Простота знакопеременной группы доказывается по Редеи.

Задача о решении уравнений в радикалах сначала ставится и решается для произвольных (быть может, приводимых) радикалов. В частности, уравнения деления круга по определению считаются разрешимыми в радикалах. Классическая постановка задачи (о решении уравнений в неприводимых радикалах) рассматривается отдельно и значительно позже. Читатель, желанэщий познакомиться лишь с основными идеями, на которых основывается применение теории Галуа к задаче о решении уравнений в радикалах, может, таким образом, не вникать в достаточной мере в сложную теорию круговых расширений.

Так как полями коэффициентов общих (т. е. имеющих буквенные коэффициенты) уравнений являются поля рациональных функций, то для обоснования применимости к таким уравнениям результатов теории Галуа, доказанных в книге лишь для подполей универсального поля, нам приходится специально доказывать, что любое поле рациональных функций можно включить в универсальное, т. е. алгебраически замкнутое, поле (именно в поле дробностепенных рядов). Алгебраическую замкнутость поля дробностепенных рядов мы доказываем по Островскому с помощью леммы Гензеля. Это доказательство хотя и не эффективно, но значительно проще конструктивного доказательства, основанного на многоугольнике Ньютона и не раз излагавшегося на русском языке.

В книге большое внимание уделяется задаче практического вычисления групп Галуа уравнений. Эта задача подробно рассмотрена как в общем виде, так и в применении к уравнениям третьей, четвертой и пятой степени. Специальное внимание уделено уравнениям пятой степени. В частности, полностью описаны все уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах.

Много места уделено также применениям теории Галуа к теории геометрических построений. Хотя основная теорема теории геометрических построений циркулем и линейкой не относится, строго говоря, к теории Галуа, однако мы ее здесь доказываем, обращая особенное внимание на алгебраические тонкости доказательства, обычно оставляемые в тени.

Наряду с общими результатами теории геометрических построений в последней главе книги рассмотрены также и некоторые конкретные построения, и притом не только классические (как задача о трисекции угла и т. п.), но и более свежие (задача о луночках Гиппократа). При рассмотрении задачи о квадратуре круга детально доказана трансцендентность числа .

Для ссылок на материал первого курса использована книга А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры», в дальнейшем именуемая «Курс». При этом страницы указываются по шестому изданию.

В заключение автор хочет горячо поблагодарить С. С. Рышкова и В. Г. Болтянского, прочитавших книгу в рукописи и сделавших много ценных замечаний.

Автор