4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа

Пусть К — произвольное нормальное радикальное расширение поля Р. В его группе Галуа радикальному ряду

соответствует ряд подгрупп

где

Для любого рассмотрим тройку полей

Так как поле является нормальным расширением поля , то группа будет нормальным делителем группы . Таким образом, ряд (1) является нормальным рядом.

Далее, факторгруппа изоморфна группе Галуа поля над полем которая, как мы знаем, разрешима (ибо поле есть простое радикальное расширение поля ). Таким образом, ряд (1) является нормальным рядом с разрешимыми факторами. Существование такого ряда обеспечивает, как мы знаем (см. гл. 1, п. 4), разрешимость группы . Таким образом, группа Галуа любого нормального радикального расширения разрешима.

Пусть теперь Q — произвольное нормальное подполе поля К (как всегда предполагается, что Q содержит основное поле Р). Тогда группа Галуа поля Q над полем Р изоморфна, как мы знаем, некоторой факторгруппе группы

Так как любая факторгруппа разрешимой группы является разрешимой группой, то, следовательно, группа Галуа любого нормального подполя произвольного нормального радикального расширения является разрешимой группой.

Оказывается, что верно и обратное: любое нормальное поле, имеющее разрешимую группу Галуа, является подполем некоторого нормального радикального расширения.

Другими словами, нормальными подполями нормальных радикальных расширений исчерпываются все нормальные поля с разрешимой группой Галуа.

Мы докажем это утверждение сначала для циклических полей, т. е. для нормальных полей, имеющих циклическую группу Галуа.

Пусть Q — нормальное расширение поля Р степени с циклической группой Галуа .

Рассмотрим поле

где — первообразный корень из единицы степени т. Легко видеть, что поле К нормально над полем Я (доказать!). Так как поле К является композитом нормальных полей , то, согласно теореме ч. I, гл. 3, п. 7, группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы Галуа . Так как группа по условию циклична, а любая подгруппа циклической группы является циклической группой, то, следовательно, группа является циклической группой. Ее порядок делит число , и потому первообразный корень из единицы степени является степенью корня т. е. принадлежит полю ):

Таким образом, поле К является циклическим расширением степени поля содержащим первообразный корень степени из единицы. Поэтому, согласно теореме п. 2, поле К является простым радикальным расширением поля . Поскольку последнее является простым радикальным расширением поля Р, тем самым доказано, что поле К представляет собой (по построению, нормальное) радикальное расширение поля Р.

Итак, доказано, что любое циклическое расширение Q поля Р содержится в некотором нормальном радикальном расширении.

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть Q — нормальное расширение поля Р, имеющее разрешимую группу Галуа , и пусть

— произвольный разрешимый ряд группы . Если то группа циклична и, следовательно, согласно доказанному выше, поле Q содержится в некотором нормальном радикальном расширении поля Р. Предполагая теперь, что теорема уже доказана для нормальных полей, имеющих разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом длины рассмотрим нормальное поле Q, имеющее разрешимую группу Галуа с разрешимым рядом (2) длины s. В этом поле подгруппе группы Галуа соответствует некоторое подполе

Поле L нормально над полем Р, и его группа Галуа изоморфна факторгруппе , т. е. является циклической группой. Следовательно, согласно уже доказанному, поле L содержится в некотором нормальном радикальном расширении L поля Р. Рассмотрим композит Q полей Q и b. Как мы знаем (см. ч. 1, гл, 3, п. 7), группа Галуа композита Q над полем L изоморфна некоторой подгруппе группы Галуа поля Q над полем L (за основное поле мы принимаем здесь поле L). Но и, следовательно, группа а потому и любая ее подгруппа (см. гл. 1, п. 4), обладает разрешимым рядом длины . Поэтому, по предположению индукции, поле Q, а значит и поле Q, содержится в некотором нормальном радикальном расширении К поля L. Так как поле L является по построению радикальным расширением поля Р, то поле К будет радикальным расширением и поля Р. Далее, как мы знаем, радикальное расширение К содержится в некотором нормальном радикальном расширении К (быть может, совпадающем с К).

Таким образом, мы нашли нормальное радикальное расширение К поля Р, содержащее данное нормальное расширение Q с разрешимой группой Галуа. Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана»