4. Некоторые конкретные задачи на построение

Применим полученные общие результаты к некоторым классическим задачам на построение.

Задача об удвоении куба формулируется следующим образом: построить куб (т. е. его сторону), объем которого вдвое больше объема данного куба. В этом случае нам задан только один отрезок (сторона данного куба).

Принимая его за единичный, мы получаем, во-первых, что основным полем Р является поле R рациональных чисел, а во-вторых, что искомая сторона удвоенного куба удовлетворяет уравнению

Поскольку это уравнение неприводимо над полем R (так как оно не имеет рациональных корней), степень числа равна трем. Поэтому это число не пифагорово, т. е. не может быть построено циркулем и линейкой. Таким образом, удвоение куба с помощью циркуля и линейки невыполнимо.

Задача о трисекции угла формулируется следующим образом: разделить данный угол на три равные части. В этой задаче даны два отрезка (например, гипотенуза и прилежащий катет прямоугольного треугольника с углом ). Принимая гипотенузу за единичный отрезок, мы получаем, что основным полем Р является в этом случае поле где . За искомый отрезок мы примем линию косинуса угла . Таким образом, задача сводится к построению числа Поскольку это число удовлетворяет уравнению

Если это уравнение неприводимо над полем то число имеет степень 3 и потому не пифагорово, т. е. его построение невозможно. Так будет, например, при , когда Действительно, уравнение

неприводимо над полем (в противном случае оно обладало бы рациональным корнем, что, как легко видеть, невозможно). Таким образом, не существует никакого построения, осуществляющего деление угла в 60° на три равные части (т. е. построение угла в 20°). Тем более не существует никакого единого построения, осуществляющего деление на три равные части произвольного угла.

Это не мешает, конечно, существованию специальных построений для некоторых отдельных углов (для которых многочлен приводим). Так, например, при (т. е. при ) или при (т. е. при ) этот многочлен приводим (над полями соответственно).

В первом случае он имеет корень , а во втором — корень .

Задача о трех биссектрисах - формулируется следующим образом: построить треугольник, если даны его три биссектрисы. Пусть А, В, С — углы искомого треугольника, а — данные биссектрисы. Очевидно, что достаточно построить углы А, В и С. Из элементарной геометрии известно, что биссектрисы треугольника следующим образом выражаются через его углы и периметр

Следовательно,

Эти равенства представляют собой два уравнения, из которых и следует найти неизвестные углы А, В и С (двух уравнений достаточно, так как среди углов треугольника только два независимых).

Предположим для упрощения выкладок, что . Тогда из второго уравнения легко выводится (сделайте ), что , т. е. искомый треугольник равнобедренный. Но для равнобедренного треугольника и потому

Кроме того,

Поэтому первое уравнение приобретает следующий вид:

где Выражая по известным формулам через , мы получим отсюда, что величина является корнем уравнения

Поскольку существуют значения k, для которых это уравнение неприводимо (например, в силу критерия Эйзенштейна оно неприводимо при построение треугольника по трем биссектрисам циркулем и линейкой невозможно (даже при дополнительном предположении

Задача о построении правильного -угольника сводится к построению первообразного корня из единицы степени . Поскольку в этой задаче задается лишь один отрезок (например, радиус описанного круга), основным полем является поле R рациональных чисел.

Заметим в первую очередь, что многочлен деления круга на частей (т. е. многочлен, корнями которого являются все первообразные корни из единицы степени и только эти корни) мы можем найти, отыскивая наибольшие общие делители многочленов , где пробегает все собственные (т. е. отличные от ) делители числа и освобождая от них многочлен Действительно, корень степени из единицы тогда и только тогда является первообразным корнем, когда он не служит корнем ни одного многочлена

Отсюда немедленно вытекает, что для любого многочлен, деления круга на частей является многочленом над полем R (т. е. имеет рациональные коэффициенты).

Степень этого многочлена равна числу всех первообразных корней из единицы степени , т. е. равна числу чисел меньших и взаимно простых с .

Как мы знаем, если число простое, то многочлен неприводим (см. гл. 2, п. 1).

Оказывается, что это верно и для любого . Однако, поскольку доказательство этого факта в общем виде довольно сложно, мы его доказывать не будем, а ограничимся доказательством следующего более частного утверждения:

для любого примарного (т. е. имеющего вид , где — простое число) числа многочлен деления круга на частей неприводим (над полем ).

Действительно, так как все делители числа имеют вид и так как при многочлен делится на многочлен то

Применяя метод доказательства «от противного», мы предположим, что этот многочлен приводим. Тогда его можно представить в виде произведения двух многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами (см. Курс, стр. 352). Так как

то одно из (целых) чисел (1) и равно ±1, а другое равно . Пусть для определенности

Рассмотрим произвольный первообразный корень С степени из единицы, являющийся корнем многочлена Поскольку все первообразные корни из единицы являются степенями, любого из них, для каждого первообразного корня С существует такое число (взаимно простое с т. е. не делящееся на ), что Следовательно, число С является корнем многочлена Отсюда вытекает, что все первообразные корни из единицы степени являются корнями многочлена представляющего собой произведение всевозможных многочленов вида . Поэтому многочлен делится на многочлен , т. е.

где — некоторый многочлен с целыми (почему?) коэффициентами. Следовательно,

т. е. число (1) делится на число

Но это невозможно, так как очевидно, что Полученное противоречие доказывает, что многочлен неприводим.

Замечание. Неприводимость многочлена можно также легко доказать, производя замену и используя критерий Эйзенштейна.

Таким образом, первообразные корни из единицы степени являются корнями неприводимого многочлена степени . Следовательно, если построение правильного -угольника, где — простое число, а циркулем и линейкой возможно, то число должно быть степенью двойки, от , либо либо и число является простым числом Ферма.

Так как любой правильный -угольник, очевидно, можно построить циркулем и линейкой, то, вспоминая результаты гл. 3, мы получаем отсюда, что построение правильного -угольника циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда либо либо и число является простым числом Ферма. Заметим теперь, что если числа и взаимно просты, то построение правильного -угольника возможно тогда и только тогда, когда возможно построение правильного -угольника и правильного -угольника.

Действительно, построение правильного -угольника равносильно построению угла Но если мы можем построить угол , то мы можем построить как угол так и угол . Обратно, если мы можем построить углы то мы можем построить любой угол вида , где и и v — произвольные целые числа. Принимая за решения уравнения (эти решения существуют в силу взаимной простоты чисел см. лемму на стр. 70—71), мы видим, что угол мы также можем построить.

Отсюда и из только что доказанной теоремы вытекает следующий окончательный результат:

построение правильного -угольника циркулем и линейкой возможно тогфа только тогда, когда число имеет вид

где - различные числа Ферма.

Задача о квадратуре круга формулируется следующим образом: построить квадрат равновеликий данному кругу. Поскольку в задаче задан только один отрезок (радиус круга), основным полем является поле R рациональных чисел. Принимая радиус данного круга за единицу, мы видим, что задача сводится к построению отрезка , т. е. к построению отрезка те. Мы докажем, что это невозможно, т. е. что квадратуру круга невозможно осуществить циркулем и линейкой. Другими словами, мы докажем, что число те не пифагорово. На самом деле, мы докажем даже большее, а именно что число те не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами,

т. е. не является алгебраическим над полем R числом. (Такие числа называются трансцендентными.)

Пусть

— произвольный многочлен. Положим

Оказывается, что существуют такие функции

переменного не зависящие от многочлена что для любого имеет место соотношение

где

причем

Ясно, что соотношение (1) линейно относительно многочлена , т. е. если оно справедливо для многочленов , то оно справедливо и для любого многочлена вида

Поэтому его достаточно доказать лишь для многочлена вида . Но в этом случае оно принимает вид

т. е. вид

Поскольку, как известно из элементарного курса анализа,

за функцию мы должны принять функцию

Так как

то ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится для всех и определяет функцию, модуль которой не больше чем . Поэтому . Тем самым соотношение (1) полностью доказано.

Пусть теперь

— произвольный многочлен степени с целыми коэффициентами и свободным членом отличным от нуля. Рассмотрим многочлен

где — некоторое простое число, и соответствующий многочлен

где — степень многочлена

Многочлен мы можем записать в следующем виде:

где целые числа, причем . Таким образом, в рассматриваемом случае если . Отсюда вытекает, что

то есть

Следовательно, число целое; если число не делит коэффициенты (например, если ), то число не делится на .

Рассмотрим теперь произвольный корень а многочлена Используя тождественное соотношение мы можем многочлен записать в следующем виде:

где — некоторые многочлены от а степеней, не больших чем с целыми коэффициентами, делящимися на Отсюда вытекает, что

то

Следовательно, число является многочленом от а степени, не большей чем с целыми коэффициентами, все коэффициенты этого многочлена делятся на число

Пусть теперь

— все корни многочлена . Так как , то они все отличны от нуля. Рассмотрим число

Это число является симметрическим многочленом от общей степени, не большей чем , с целыми коэффициентами, делящимися на Следовательно (см. Курс, стр. 328), оно является многочленом общей степени, не большей чем с целыми коэффициентами, делящимися на от элементарных симметрических функций корней т. е. от приведенных коэффициентов многочлена Значит, это число является многочленом с целыми коэффициентами, делящимися на , от целых чисел Поэтому число А является целым числом, делящимся на .

Рассмотрим далее функцию соответствующую многочлену (см. выше соотношение ). Пусть М — наибольшее значение абсолютных величин коэффициентов многочлена Ясно, что абсолютные величины коэффициентов многочлена не превосходят числа (каждый коэффициент является суммой не более чем произведений коэффициентов многочлена ). Следовательно, абсолютные величины коэффициентов многочлена не превосходят числа . Поэтому, если то

где Аналогично, если , то

где

Наконец, если , то

где

Как известно из курса анализа,

Следовательно, для любого а любого x существует такое число что

В частности, существует такое число Р, что для любого

Следовательно,

Рассмотрим теперь число

Подставляя в соотношение (1) вместо числа и складывая получившиеся равенства, мы получим, что

где . Другими словами,

Предположим, что число В целое, и выберем простое число (которое пока было вполне произвольным) большим каждого из чисел и Р. Тогда целое число не будет делиться на и потому не будет равно числу А (которое, как мы знаем, на делится). Следовательно, целое число будет отлично от нуля. Но это невозможно, так как оно равно числу у, абсолютная величина которого при меньше единицы (ибо )

Полученное противоречие доказывает следующую теорему.

Если отличные от нуля числа являются корнями уравнения

с целыми коэффициентами, то число

не может быть целым.

Из этой теоремы трансцендентность числа следует уже весьма просто. Предположим, что число алгебраично. Тогда число также алгебраично. Пусть

— все числа, сопряженные с числом Так как то произведение

равно нулю. Следовательно, раскрывая скобки, мы получим, что

Обозначая отличные от нуля показатели через мы можем переписать это равенство в следующем виде:

где В — некоторое целое число. Таким образом, для того чтобы прийти к противоречию с доказанной выше теоремой, достаточно показать, что все числа являются корнями некоторого многочлена с целыми коэффициентами, не имеющего никаких других корней, т. е. что любое число, сопряженное с одним из чисел также содержится среди этих чисел. Но это почти очевидно. Действительно, пусть a — любое из чисел По условию оно является суммой k чисел вида

Рассмотрим все числа которые можно представить в виде суммы -чисел вида Ясно, что многочлен

имеет рациональные коэффициенты (ибо эти коэффициенты являются симметрическими многочленами от чисел

Поскольку среди корней многочлена содержится число любое число, ему сопряженное, также должно быть корнем этого многочлена, т. е. должно быть суммой k чисел вида и потому оно должно совпадать с одним из чисел

Тем самым трансцендентность числа полностью доказана. Аналогичным методом может быть доказано следующее общее утверждение:

числа и тогда и только тогда одновременно являются алгебраическими числами, когда Доказательство этого утверждения мы опустим.

Задача о луночках Гиппократа формулируется следующим образом: найти все луночки, т. е. фигуры, ограниченные двумя дугами окружностей, которые можно построить циркулем и линейкой и для которых можно построить (также циркулем и линейкой) равновеликий квадрат (такие луночки называются квадрируемыми). Каждая луночка задается длиной общей хорды, стягивающей дуги, ограничивающие луночку, и центральными углами измеряющими эти дуги (считаем для определенности, что Мы будем рассматривать лишь луночки, для которых углы соизмеримы, т. е. для которых существует такой угол что где тип взаимно простые целые (положительные) числа (причем ). В этом предположении построение луночки сводится к построению угла .

Рассмотрим некоторую квадрируемую луночку с углами Без ограничения общности мы можем считать, что длина общей хорды, стягивающей дуги, ограничивающие луночку, равна единице. Тогда нетрудно видеть, что площадь S луночки выражается формулой

если дуги, ограничивающие луночку, расположены по одну сторону от хорды (вогнуто-выпуклая луночка), и формулой

в противном случае (выпуклая луночка).

Рассмотрим сначала второй случай. Так как по условию то из формулы (1) вытекает, что

Для квадрируемой луночки это число алгебраично. Таким образом, оба числа 6 и одновременно алгебраичны, что, как мы знаем, возможно лишь при . Следовательно, квадрируемых выпуклых луночек не существует. Аналогичное ргссуждение показывает, что квадрируемая вогнуто-выпуклая луночка, определяемая углами может существовать лишь тогда, когда

Таким образом, задача построения квадрируемых луночек (с соизмеримыми углами ) сводится к задаче построения угла , удовлетворяющего уравнению (2).

Заменив в уравнении (2) величины их выражениями через мы получим для некоторое алгебраическое уравнение, которое мы и должны исследовать. Луночка с углами тогда и только тогда может быть построена циркулем и линейкой, когда это уравнение обладает действительным решением, абсолютная величина которого не превосходит единицы и вычисление которого сводится к решению цепи квадратных уравнений.

Впрочем, с вычислительной точки зрения удобнее рассматривать не число , а число . Это изменение, конечно, никакого принципиального значения не имеет (ибо число может быть построено тогда и только тогда, когда может быть построено число ). Поскольку

уравнение для величины имеет вид

Таким образом, мы пришли к следующей чисто алгебраической задаче:

при каких взаимно простых целых положительных числах тип (удовлетворяющих условию решение уравнения (3) сводится к решению квадратных уравнений?

Найдя все уравнения (3), сводящиеся к квадратным уравнениям, мы затем уже легко отберем среди них уравнения, которым соответствуют «действительные» луночки, т. е. уравнения, обладающие корнем , модуль которого равен единице.

Можно доказать, что если число составное, то, за исключением случая решение уравнения (3) нельзя свести к решению квадратных уравнений.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки этой книги, и мы его опустим.

Пусть теперь число простое. Оказывается, что если решение уравнения (3) при простом сводится к решению квадратных уравнений, то число либо равно двум, либо является простым числом Ферма.

Для доказательства мы произведем в уравнении (3) замену . В результате мы получим уравнение

т. е. уравнение

Раскрыв скобки, мы получим уравнение вида

где — некоторые целые числа.

Заметим теперь, что если , то биноминальный коэффициент делится на .

Действительно,

и простое число в числителе не может сократиться (ибо все множители знаменателя меньше ).

Отсюда вытекает, что уравнение (4) мы можем переписать в следующем виде:

где — некоторые многочлены с целыми коэффициентами, а следовательно, и в следующем виде:

где некоторый многочлен с целыми коэффициентами. Это означает, что в уравнении (5) все коэффициенты делятся на . Поскольку старший коэффициент на не делится, а свободный член (равный, очевидно, ) не делится на уравнение (5) удовлетворяет условиям критерия Эйзенштейна и потому неприводимо (над полем R). Следовательно, его решение может сводиться к решению квадратных уравнений только тогда, когда его степень является степенью двойки, т. е. когда число либо равно двум, либо является простым числом Ферма. Теорема доказана.

Оказывается, что утверждаемое этой теоремой необходимое условие достаточным не является. Именно можно показать, что если , то решение уравнения (3) (при нельзя свести к решению квадратных уравнений.

Доказательство этого утверждения мы также опустим.

Таким образом, нам остается разобрать лишь случаи а также случай

Пусть Тогда и уравнение (3) (после сокращения на ) приобретает вид

Следовательно, в этом случае , и мы получаем, что луночка с углами квадрируема.

Это — известная луночка Гиппократа.

Пусть теперь Тогда или . В первом случае уравнение (3) (после сокращения на ) имеет вид

Оно имеет два действительных корня (нам не интересных) и комплексные корни

Следовательно, откуда . Таким образом, луночка с углами квадрируема.

При мы получаем уравнение

Полагая мы получим уравнение, разлагающееся в поле на два возвратных уравнения четвертой степени, и потому сводящееся к квадратным уравнениям.

Производя вычисления, мы получим, что , т. е. что . Таким образом, луночка с углами квадрируема.

Эти две луночки также были построены Гиппократом. Пусть, наконец, . Тогда или 4. При мы получаем уравнение

которое распадается на два возвратных уравнения четвертой степени

и потому сводится к квадратным уравнениям. В этом случае откуда Таким образом, луночка с углами квадрируема

Эта луночка была найдена в 1840 г. Клаузеном.

При мы получаем уравнение

Полагая мы сведем это уравнение к двум возвратным уравнениям восьмой степени

Решая эти уравнения известным методом подстановкой мы получим уравнения четвертой степени

Решая последние уравнения методом Феррари (см. Курс, стр. 239), мы получим для вспомогательного неизвестного и (в Курсе это неизвестное обозначалось символом а) кубическое уравнение

Так как это уравнение, как легко видеть, неприводимо (не имеет рациональных корней), то его решение нельзя свести к решению квадратных уравнений. Следовательно, исходное уравнение также нельзя свести к квадратным уравнениям (ибо кории уравнения (7) рационально выражаются через корни уравнения . Таким образом, при квадрируемой луночки не существует.

При мы получаем уравнение

Оно распадается (в поле ) на два возвратных уравнения четвертой степени, и потому его решение сводится к решению квадратных уравнений. Произведя вычисления, мы легко получим, что , где

откуда

Таким образом, луночка с углами квадрируема.

Эта луночка также была найдена Клаузеном.

При мы получаем уравнение

Так же, как в случае легко показать, что решение этого уравнения нельзя свести к решению квадратных уравнений. Таким образом, при квадрируемой луночки не существует.

Рассмотрим, наконец, последний возможный случай: . В этом случае мы получаем приводимое уравнение

распадающееся на два возвратных уравнения

После замены мы получим уравнения четвертой степени

Решение первого уравнения не сводится к решению квадратных уравнений, потому что кубическое уравнение, получаемое по методу Феррари, неприводимо. Что же касается второго уравнения, то в поле оно распадается на два квадратных уравнения

где и потому его решение сводится к решению квадратны уравнений. Таким образом, при решение уравнения (3) (точнее, одного из его неприводимых множителей восьмой степени сводится к решению квадратных уравнений,

Попытаемся теперь найти соответствующую луночку. Легко видеть, что у уравнения (9) нет действительных корней. Следовательно, для любого интересующего нас корня уравнения (3) (т. е. для любого корня второго из уравнений ) величина не действительна. Однако если бы этому корню соответствовала луночка с углом , то, поскольку величина была бы действительной. Полученное противоречие показывает, что при квадрируемой луночки не существует.

Окончательный результат произведенного исследования можио сформулировать в виде следующей теоремы.

Квадрируемые луночки существуют лишь в следующих пяти случаях: