4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю

Для доказательства теоремы В мы должны предварительно изучить строение мультипликативной группы классов по модулю . Этому изучению и будет посвящен этот пункт.

При этом мы ограничимся единственно нужным нам случаем, когда число примарно, т. е. имеет вид где — некоторое простое число.

В первую очередь мы рассмотрим случай, когда простое число нечетно (т. е. не равно двум).

Если простое кисло нечетно, то для любого I группа циклична.

Пусть сначала . Поскольку любое положительное число, меньшее , взаимно просто с , группа состоит из всех классов по модулю за исключением нулевого, т. е. имеет порядок Так как множество всех (включая и нулевой) классов по модулю является абелевой группой по сложению, а его подмножество — абелевой группой по умножению, причем закон дистрибутивности, очевидно, выполнен, то множество представляет собой (абстрактное) поле (см. Курс, стр. 278).

Пусть теперь — наименьшее общее кратное порядков всех элементов группы . Тогда для любогоэлемента имеет место равенство . Другими словами, уравнение над полем имеет в этом поле корень. Поэтому его степень не меньше (Теорема о том, что степень уравнения не меньше числа его корней, справедлива над любым полем; см. Курс, стр. 289). С другой стороны, число не может быть больше порядка группы . Следовательно, оно равно этому порядку. Поэтому группа циклична (см. стр. 63).

Образующие группы принято называть первообразными классами, а принадлежащие им числа — первообразными корнями (по модулю ). Заметим, что согласно этому определению, вместе с числом g первообразным корнем по модулю является также и число .

Пусть теперь . Легко видеть, что порядок группы равен

ибо среди всех неотрицательных целых чисел, меньших не взаимно просты с лишь числа, делящиеся на , а таких чисел ровно (все они имеют вид , где ).

Рассмотрим произвольный первообразный корень g по модулю . Так как , то

где — некоторое целое число. Без потери общности можно считать, что число и не делится на , ибо в противном случае число g можно заменить числом Действительно, из равенства

где t — некоторое целое число, вытекает, что если и делится

где на уже не делится.

Рассмотрим теперь класс числа g по модулю Пусть порядок этого класса равен . Тогда имеет место равенство , т. е. равенство

где - некоторое целое число. Следовательно, между классами по модулю имеет место аналогичное равенство из которого немедленно следует, что число делится на порядок группы (ибо класс является образующей этой группы). С другой стороны, число делит (см. стр. 63) порядок группы . Следовательно,

Возводя равенство (1) в степень мы получим отсюда, что

где t — некоторое целое число. Сопоставив это равенство с равенством (2), мы получим, что

Так как число не делится на (ибо на не делится число u), то это равенство возможно лишь при

Следовательно, . Таким образом, мы нашли в группе элемент, порядок которого равен порядку группы. Как мы знаем (см. стр. 63), отсюда следует, что группа циклична.

Пусть теперь Очевидно, что группа состоит только из одного элемента (класса [1]) и потому является циклической группой. Группа содержит два элемента и, следовательно, также является циклической группой. Оказывается, что этими двумя группами исчерпываются все циклические группы вида . Именно, как мы сейчас покажем, группа при не циклична.

Поскольку порядок группы равен (числу нечетных чисел, меньших чем 2°), для доказательства этого утверждения достаточно показать, что порядок любого элемента группы при не превосходит числа

Но это очевидно, ибо для любого нечетного числа и любого целого числа имеет место равенство

где — некоторое целое число. Действительно, для равенство (3) справедливо (причем ), справедливо для , то оно справедливо и для k (причем ). Следовательно, при а 3 число сравнимо с единицей по модулю .

Оценка точная, т. е. в группе на самом деле существуют элементы порядка Таким элементом является, например, класс числа . Действительно, легко видеть, что для любого целого числа имеет место равенство

где — некоторое целое число , так что число сравнимо по модулю с числом и потому

Таким образом, порядок класса равен

Класс мы будем в дальнейшем обозначать символом или просто . Циклическую подгруппу порядка группы порожденную элементом мы будем обозначать символом Она состоит из элементов

Рассмотрим теперь класс числа —1 по модулю . В дальнейшем этот класс мы будем обозначать символом или просто у. Ясно, что . Оказывается, что класс у не принадлежит подгруппе . Действительно, если бы, например, , где , то число делилось бы на и потому делилось бы на 4, что, как легко видеть, невозможно (почему ).

Отсюда вытекает, что, кроме элементов (4), группа содержит также элементы

причем все эти элементы отличны друг от друга и от элементов (4).

Поскольку элементов (4) и (5) вместе ровно они исчерпывают собой все элементы группы