9. Композит полей

Пусть — произвольные поля. Их композитом К называется минимальное поле, содержащее как поле так и поле . Существование поля К следует из того, что его можно определить как пересечение всех полей, содержащих оба поля . Примером композита является расширение порожденное числами . Это расширение будет композитом расширений

Простой и пригодный во всех интересных случаях способ построения композита описывается следующей теоремой.

Если поля являются расширениями некоторого поля Р. причем существуют такие числа , что

то

Действительно, так как , то поле содержит поле кроме того, очевидно, поле . Поэтому в силу минимальности композита

С другой стороны,

ибо

Применим эту теорему к случаю, когда числа алгебраичны над Р, т. е. к случаю, когда поле является алгебраически порожденным (т. е. конечным) расширением поля Р.

Алгебраические над полем Р числа алгебраичны и над полем . Поэтому любой элемент поля выражается в виде многочлена от с коэффициентами из поля (см. п. 5). Отсюда вытекает, что любой элемент поля К можно представить в виде

где (именно , суть некоторые одночлены от ). Таким образом, если хотя бы одно из расширений поля Р конечно, то любой элемент их композита К имеет вид (1).

Задача. Доказать, что композит конечных расширений является конечным расширением.