I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ

1. Предварительные замечания

Полем мы называем непустое множество Р комплексных чисел, обладающее следующими свойствами:

Полями являются, например, поле рациональных чисел поле действительных чисел D и поле комплексных чисел С.

Поле Р называется подполем поля К, а поле К — расширением поля Р, если любой элемент поля Р принадлежит полю К, т. е. если . Любое поле (в нашем смысле) является подполем поля комплексных чисел.

Легко видеть, что каждое поле содержит единицу, а следовательно, и все поле рациональных чисел R, т. е. любое поле является расширением поля рациональных чисел. В современной алгебре принято абстрактное определение поля как множества с двумя алгебраическими операциями, удовлетворяющими определенным аксиомам (см. Курс, стр. 276). В отличие от таких «абстрактных» полей, поля в нашем смысле называются числовыми. Излагаемую в этой книге теорию можно без большого труда перенести и на случай нечисловых полей. Переход от числовых полей к произвольным влечет в основном лишь чисто технические трудности. Эти трудности связаны с тем, что в нечисловом поле некоторое кратное единицы может оказаться равным нулю, а неприводимый многочлен — обладать кратными корнями.

Поля, в которых это затруднение не возникает, называются полями характеристики 0 (см. Курс, стр. 280 и 296). К ним, кроме числовых полей., принадлежат, например, поля рациональных функций. Другая, более существенная трудность, возникающая при переходе от числовых к нечисловым полям, проявляется, в частности, в том, что различные нечисловые поля, вообще говоря, никак не связаны между собой: например, нельзя говорить о сумме элементов двух различных полей. Эту трудность удобнее всего преодолеть, ограничив класс рассматриваемых полей подполями некоторого достаточно широкого «универсального» поля. Именно на этом пути, выбирая за универсальное поле поле комплексных чисел, мы и приходим к числовым полям. В общем случае от универсального поля достаточно потребовать алгебраической замкнутости, т. е. потребовать, чтобы любой многочлен над этим полем разлагался в нем на линейные множители. Легко проверяется, что вся излагаемая ниже теория остается справедливой без каких-либо изменений, если под полями понимать подполя некоторого алгебраически замкнутого поля характеристики 0.

Это обстоятельство мы существенно используем в гл. 4, ч. II.