3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений

Пусть Р — произвольное поле и а — алгебраическое над полем Р число. По определению, число а является корнем некоторого отличного от нуля многочлена над полем Р (т. е. многочлена с коэффициентами из поля Р). Многочлен, имеющий наименьшую степень среди всех многочленов с этим свойством, называется минимальным многочленом алгебраического числа а. Этот многочлен неприводим, ибо в противном случае число а было бы корнем хотя бы одного его делителя меньшей степени, что по условию невозможно. Любой многочлен, корнем которого является число а, не взаимно прост с минимальным многочленом и, следовательно, делится на этот многочлен. В частности, неприводимый многочлен с корнем а может отличаться от минимального многочлена лишь постоянным множителем. Другими словами, неприводимый многочлен с корнем а определен однозначно (с точностью до постоянного множителя). Степень этого многочлена называется степенью алгебраического числа а над полем Р. Степень равна единице тогда и только тогда, когда . Пусть а — алгебраическое над полем Р число, — его минимальный многочлен и — его степень.

Рассмотрим множество К всех чисел , для каждого из которых существует такой многочлен над полем Р, что Очевидно, что

Докажем, что К является полем. Так как сумма, разность и произведение любых элементов из К, очевидно, снова принадлежат К, то нужно только доказать, что для любого отличного от нуля числа число также принадлежит К.

По определению

где некоторый многочлен над полем Р. Поскольку , то многочлен не делится на многочлен и, следовательно (в силу неприводимости многочлена ), многочлены взаимно просты. Поэтому, согласно известной теореме (см. Курс, стр. 141), над полем Р существуют такие многочлены что

Полагая в этом равенстве мы получим

Таким образом, множество К действительно является полем. Так как, по определению, то К является расширением поля Р, содержащим число а. Поэтому в силу минимальности поля

Сопоставляя это включение с включением мы получаем, что

Тем самым мы доказали, что для любого элемента поля найдется такой многочлен над полем Р, что

Этот многочлен определен неоднозначно, ибо к нему можно прибавить любой многочлен, делящийся на многочлен Другими словами, если разность делится на многочлен , то . Обратно, если , то многочлены не взаимно просты (ибо они имеют общий корень а) и, следовательно, многочлен делится на многочлен . Таким образом,

тогда и только тогда, когда разность делится на многочлен

В частности, если — остаток от деления многочлена на многочлен , то . Следовательно, любой элемент поля можно представить в виде , где степень многочлена меньше (т. е. меньше степени многочлена ).

Другими словами, для любого элемента существуют такие элементы (коэффициенты многочлена ), что

Так как разность , где — многочлены степени, меньшей , делится на многочлен степени только тогда, когда , то это представление однозначно. Таким образом, любой элемент поля однозначно записывается в виде (1). Другими словами, элементы

образуют базис поля над полем Р.

Следовательно, простое алгебраическое расширение является конечным расширением и его степень равна степени числа а.

Таким образом, класс расширений типа 4° содержится в классе расширений типа 1°.