5. Уравнения, разрешимые в радикалах

Говорят, что корень 0 уравнения

над полем Р выражается в радикалах, если существует радикальное расширение поля Р, содержащее корень , т. е. если вычисление корня сводится к четырем арифметическим действиям и решению цепи двучленных уравнений. Если все корни уравнения (1) выражаются в радикалах, то говорят, что это уравнение решается в радикалах.

Оказывается, что если хотя бы один корень неприводимого уравнения выражается в радикалах, то уравнение решается в радикалах.

Действительно, пусть корень уравнения (1) принадлежит радикальному расширению К поля Р. Как мы знаем, радикальное расширение К можно расширить до некоторого нормального радикального расширения К. Так как нормальному полю К принадлежит один корень неприводимого уравнения (1), то ему должны принадлежать и все остальные корни. Таким образом, каждый корень уравнения (1) лежит в радикальном расширении К, т. е. выражается в радикалах.

Нормальное радикальное расширение К, содержащее все корни уравнения (1), содержит и его поле разложения. Следовательно, если неприводимое уравнение решается в радикалах, то его поле разложения содержится в некотором нормальном радикальном расширении поля Р. Очевидно и обратное, если поле разложения уравнения (1) содержится в нормальном радикальном расширении, то уравнение (1) разрешимо в радикалах. Но, как мы видели в предыдущем пункте, нормальное поле тогда и только тогда содержится в некотором нормальном радикальном расширении, когда его группа Галуа разрешима. Следовательно, неприводимое уравнение тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда группа Галуа его поля разложения разрешима.

Принято группу Галуа поля разложения некоторого уравнения называть группой Галуа этого уравнения.

В этой терминологии доказанная теорема звучит следующим образом:

неприводимое уравнение тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Галуа разрешима.

Задача. Доказать эту теорему и для приводимых уравнений. (Указание: предварительно доказать, что композит радикальных расширений является радикальным расширением.)

Подчеркнем, что доказанные в этой главе теоремы позволяют для любого уравнения с разрешимой группой Галуа эффективно построить радикальное расширение, содержащее его корни, т. е. эффективно выразить его корни через радикалы. (Пример такого построения см. ниже, гл. 4, п. 4.)