3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы

Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой, если

1) произведение любых элементов принадлежит

2) для любого элемента обратный элемент принадлежит Н.

Задача. Доказать, что подмножество Н группы G тогда и только тогда является подгруппой, когда для любых элементов элемент принадлежит Н.

Очевидно, что любая подгруппа является группой (относительно определенной во всей группе операции).

Задача. Доказать, что пересечение любого числа подгрупп является подгруппой.

Заметим, что подмножество группы G, состоящее из ее единицы , а также сама группа G являются подгруппами. Эти подгруппы мы будем называть тривиальными подгруппами.

Пусть G — произвольная группа и Н — некоторая ее подгруппа. Подмножество группы G, состоящее из всех элементов вида где h — произвольный элемент подгруппы Н, a g — некоторый фиксированный элемент группы G, называется смежным классом элемента g по подгруппе Н и обозначается через

Очевидно, что

Пусть g — произвольный элемент смежного класса По определению

где h — некоторый элемент подгруппы Н. Рассмотрим смежный класс элемента g. Любой элемент этого смежного класса имеет вид т. е. вид где

Следовательно, так как , то любой элемент смежного класса принадлежит смежному классу , т. е.

С другой стороны, любой элемент можно представить в виде Так как то, следовательно, . Таким образом,

Тем самым доказано, что

то естьсмежный класс любого элемента g из смежного класса совпадает с классом

Отсюда следует, что если два смежных класса пересекаются, то они совпадают.

Действительно, смежный класс элемента g, лежащего в пересечении данных смежных классов, совпадает с каждым из этих классов.

Теперь легко доказать, что два элемента группы G тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда

Действительно, если , где , то и, следовательно, элемент принадлежит тому же смежному классу которому принадлежит элемент . Обратно, если существует такой смежный класс , что то и, следовательно, где . Поэтому

Наконец, смежный класс тогда и только тогда совпадает с подгруппой Н, когда

Для доказательства достаточно заметить, что подгруппу Н можно рассматривать как смежный класс единицы .

Пусть произвольный смежный класс по подгруппе Н. Определим отображение подгруппы Н на смежный класс положив для любого элемента

Очевидно, что это отображение взаимно однозначно (ибо если то, умножая справа на g, мы получим, что ). Таким образом, для любого смежного класса по подгруппе Н существует (вообще говоря, не единственное) взаимно однозначное отображение подгруппы Н на этот смежный класс. В частности, если подгруппа Н конечна (т. е. состоит из конечного числа элементов), то все смежные классы по подгруппе Н состоят из одного и того же числа элементов.

Применим этот результат к случаю, когда группа конечна. Пусть п — число элементов группы G. Любая подгруппа Н конечной группы О, очевидно, конечна, и число ее элементов не превышает . Пусть k — число различных смежных классов по подгруппе Н. (Это число конечно в силу конечности группы G.) По доказанному выше, эти классы, во-первых, не пересекаются, а во-вторых, каждый из них состоит из элементов. Поэтому все эти классы вместе содержат различных элементов. Следовательно, заметив, что любой элемент g группы О обязательно принадлежит какому-нибудь смежному классу (именно классу мы видим, что число всех элементов группы равно

Число элементов конечной группы принято называть ее порядком. Таким образом, введенное выше число является порядком группы G, а число — порядком подгруппы Н. Число k смежных классов по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н (в группе G). Доказанное выше равенство означает справедливость следующей теоремы.

Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. Соответствующее, частное равно индексу подгруппы.

Эта теорема известна как теорема Лагранжа.

Вернемся теперь к рассмотрению произвольных (быть может, бесконечных) групп.

Подгруппа Н группы О называется нормальным делителем, если для любого элемента и любого элемента элемент принадлежит Н. Очевидно, что в абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем.

Задача. Доказать, что пересечение нормальных делителей является нормальным делителем.

Очевидно, что если подгруппа N является нормальным делителем группы G, то она будет нормальным делителем и в любой содержащей подгруппу N подгруппе Следует иметь в виду, что обратное, вообще говоря, неверно: если

и N есть нормальный делитель в Н, то N может и не быть нормальным делителем в G.

Задача. Доказать, что пересечение нормального делителя N и произвольной подгруппы Н является нормальным делителем в Н.

Тривиальные подгруппы (т. е. ) являются, очевидно, нормальными делителями. Группа, не имеющая никаких других нормальных делителей, называется простой.

Пусть Н — произвольный нормальный делитель группы G и пусть — некоторые смежные классы по нормальному делителю Н. Произвольно выбрав в классе некоторый элемент , а в классе элемент рассмотрим произведение этих элементов. Так как

и. по условию, а значит, и то это произведение лежит в смежном классе и следовательно, его смежный класс совпадает с классом . Таким образом, при любом выборе элементов из данных смежных классов смежный класс их произведения получается один и тот же. Этот однозначно определенный смежный класс называется произведением смежных классов и обозначается через . По доказанному

Тем самым мы определили во множестве всех смежных классов по нормальному делителю Н некоторую алгебраическую операцию. Легко проверить, что относительно этой операции множество смежных классов является группой (единицей является смежный класс а класс, обратный классу определяется формулой

Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальному делителю Н и обозначается через

Для конечной группы G факторгруппа конечна и ее порядок равен индексу подгруппы Н.

Если то факторгруппа совпадает, очевидно, с группой G, а если то факторгруппа состоит только из одного элемента (единицы).