| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
6. Случай уравнений в нормальном виде
Мы будем говорить, что многочлен 
пятой степени имеет нормальный вид, если
где u, v — элементы основного поля Р. Ниже (см. п. 8) мы покажем, что любой многочлен пятой степени можно привести к такому виду, а в этом пункте мы вычислим для таких многочленов многочлен 
получающийся из найденного в предыдущем пункте многочлена 
подстановкой вместо неизвестных 
корней 
многочлена (1).
Мы имеем
где D — дискриминант многочлена (1), с — некоторое число, не зависящее от 
, а 
— симметрические многочлены от корней 
степеней 4, 8 и 12 соответственно. Согласно общей теории симметрических многочленов, многочлены 
должны выражаться через элементарные симметрические многочлены и и V. Но многочлен и имеет степень 4, а многочлен v — степень 5. Поэтому
где 
— некоторые постоянные (не зависящие от а и v).
Таким образом,
(Заметим, что коэффициент v в выражение многочлена 
явно не входит.)
Для того чтобы найти постоянные числа 
и с, мы рассмотрим многочлен
Для этого многочлена
Следовательно,
то
Таким образом, в рассматриваемом случае
то
С другой стороны, легко видеть, что
Поэтому
Приравнивая коэффициенты, мы легко получим, что
Таким образом, мы окончательно получаем, что
Здесь удобно ввести новое неизвестное
Для этого неизвестного мы получим (после сокращения на 1024) многочлен
Таким образом, если многочлен (2) не имеет кратных корней, то группа Галуа многочлена (1) тогда и только тогда сопряжена некоторой подгруппе метациклической группы 
, когда хотя бы один корень многочлена (2) принадлежит полю Р.
Заметим, что это утверждение справедливо и для приводимых многочленов (1),
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
-
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
-
2. Некоторые важные типы расширений
-
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений
-
4. Алгебраичность конечных расширений
-
5. Строение составных алгебраических расширений
-
6. Составные конечные расширения
-
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым
-
8. Поле алгебраических чисел
-
9. Композит полей
ГЛАВА 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
-
1. Определение группы
-
2. Порядки элементов
-
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы
-
4. Гомоморфные отображения
-
ГЛABA 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
-
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа
-
3. Порядок группы Галуа
-
4. Соответствие Галуа
-
5. Теорема о сопряженных элементах
-
6. Группа Галуа нормального подполя
-
7. Группа Галуа композита двух полей
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
-
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах
-
2. Нормальные ряды
-
3. Циклические группы
-
4. Разрешимые и абелевы группы
-
5. Группы Zn и Mn
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
-
1. Простые радикальные расширения
-
2. Циклические расширения
-
3. Радикальные расширения
-
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа
-
5. Уравнения, разрешимые в радикалах
ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
-
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок
-
§ 2. Разложение подстановок в произведение циклов
-
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа
-
4. Строение знакопеременной и симметрической групп
-
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа
-
6. Обсуждение полученных результатов
ГЛАВА 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ n >= 5
-
1. Поле формальных степенных рядов
-
2. Поле дробностепенных рядов
-
3. Группа Галуа общего уравнения степени n
-
4. Решение уравнений низших степеней
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
-
ГЛАВА 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
-
2. Сопряженные группы подстановок
-
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена
-
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе
-
5. Уравнения третьей и четвертой степени
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
-
1. Транзитивные группы подстановок
-
2. Транзитивные группы простой степени
-
3. Транзитивные группы пятой степени
-
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени
-
5. Определяющий многочлен для метациклической группы
- 6. Случай уравнений в нормальном виде
-
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
-
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду
-
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
-
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям
-
3. Доказательство теоремы А
-
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю
-
6. Группы Галуа примарных круговых расширений
-
6. Доказательство теоремы В
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
-
1. Строение полей деления круга простого показателя
-
2. Решение уравнений деления круга
-
3. Прием Гаусса
-
4. Уравнение деления круга на 17 частей
-
ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
-
2. Примарные группы
-
3. Пифагоровы расширения
-
4. Некоторые конкретные задачи на построение