Главная > Математика > Теория Галуа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Случай уравнений в нормальном виде

Мы будем говорить, что многочлен пятой степени имеет нормальный вид, если

где u, v — элементы основного поля Р. Ниже (см. п. 8) мы покажем, что любой многочлен пятой степени можно привести к такому виду, а в этом пункте мы вычислим для таких многочленов многочлен получающийся из найденного в предыдущем пункте многочлена подстановкой вместо неизвестных корней многочлена (1).

Мы имеем

где D — дискриминант многочлена (1), с — некоторое число, не зависящее от , а — симметрические многочлены от корней степеней 4, 8 и 12 соответственно. Согласно общей теории симметрических многочленов, многочлены должны выражаться через элементарные симметрические многочлены и и V. Но многочлен и имеет степень 4, а многочлен v — степень 5. Поэтому

где — некоторые постоянные (не зависящие от а и v).

Таким образом,

(Заметим, что коэффициент v в выражение многочлена явно не входит.)

Для того чтобы найти постоянные числа и с, мы рассмотрим многочлен

Для этого многочлена

Следовательно,

то

Таким образом, в рассматриваемом случае

то

С другой стороны, легко видеть, что

Поэтому

Приравнивая коэффициенты, мы легко получим, что

Таким образом, мы окончательно получаем, что

Здесь удобно ввести новое неизвестное

Для этого неизвестного мы получим (после сокращения на 1024) многочлен

Таким образом, если многочлен (2) не имеет кратных корней, то группа Галуа многочлена (1) тогда и только тогда сопряжена некоторой подгруппе метациклической группы , когда хотя бы один корень многочлена (2) принадлежит полю Р.

Заметим, что это утверждение справедливо и для приводимых многочленов (1),

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление