4. Алгебраичность конечных расширений

Пусть — произвольный элемент конечного расширения К поля , и пусть . Так как в -мерном линейном пространстве любые векторов линейно зависимы, то, в частности, элементы

линейно зависимы над полем Р, т. е. в Р существуют такие числа среди которых хотя бы одно неравно нулю, что

Это означает, что число служит корнем многочлена

и, следовательно, является алгебраическим (над полем ) числом. Тем самым доказано, что любое конечное расширение алгебраично, т. е. класс расширений типа 1° содержится в классе расширений типа 5°.

Кроме того, мы получаем, что степень над полем Р любого элемента конечного расширения К поля Р не превосходит степени этого расширения.

Пусть теперь — базис поля К над полем Р. Так как числа являются, по доказанному, алгебраическими числами (над Р), то порожденное ими расширение является алгебраически порожденным расширением. В силу минимальности этого расширения оно содержится в поле К:

С другой стороны, так как из следует, что для любых чисел то любой элемент поля К содержится

Следовательно,

Таким образом, любое конечное расширение является алгебраически порожденным.

Другими словами, класс расширений типа 1° содержится в классе расширений типа 2°.