8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду

Покажем в заключение, что любое уравнение

(1)

пятой степени может быть приведено к нормальному виду. С этой целью мы введем новое неизвестное у, полагая

где — некоторые, пока неопределенные параметры. Для того чтобы составить уравнение, которому удовлетворяет неизвестная у, следует исключить из уравнений (1) и (2) неизвестную . Согласно общей теории исключения (см. Курс, стр. 340), для этого нужно составить результат много членов

и приравнять его нулю.

В результате мы получим уравнение

Раскрывая этот определитель, мы получим, что уравнение для у имеет вид

где — некоторые однородные многочлены от параметров Коэффициенты этих многочленов являются многочленами от коэффициентов исходного уравнения (1) и поэтому принадлежат основному полю Р.

Легко видеть, что степень многочлена равна l.

Выберем теперь параметры так, чтобы удовлетворялись уравнения

т. е. чтобы уравнение для у имело нормальный вид

Первое уравнение линейно. Получив из него выражение, скажем, параметра через параметры внесем его в остальные два уравнения. В результате мы получим некоторые уравнения

второй и третьей степени относительно параметров

Выражение представляет собой квадратичную форму от переменных

Согласно теории приведения квадратичных форм (см. Курс, стр. 175), эту форму можно представить в следующем виде:

где некоторые линейные формы (возможно, равные нулю) от неизвестных Коэффициенты этих линейных форм, вообще говоря, принадлежат не полю Р, а некоторому большему полю, порожденному над полем Р корнями квадратными из элементов поля Р. Потребовав, чтобы удовлетворялись линейные уравнения

мы автоматически удовлетворим и квадратному уравнению

Решив уравнения скажем, относительно неизвестных и, подставив получающиеся выражения в уравнение мы получим для параметров некоторое однородное уравнение третьей степени

Выбирая произвольно параметр например полагая мы получим отсюда для параметра кубичное уравнение. Решив его, мы найдем параметр а потому и все остальные параметры

Тем самым показано, что преобразованием (2) любое уравнение (1) можно привести к нормальному виду (3).

Получающееся уравнение (3) будет уравнением уже не над полем Р, а над некоторым большим полем Q, порожденным над полем Р корнями квадратных и кубичных уравнений. Поскольку квадратные и кубичные уравнения разрешимы в радикалах, уравнение (1) тогда и только тогда разрешимо в радикалах над полем Р, когда над полем Q разрешимо в радикалах уравнение (3). Поскольку на вопрос о разрешимости в радикалах уравнения (3) мы отвечать умеем, отсюда следует, что для любого уравнения пятой степени (1) мы можем эффективно ответить на вопрос, разрешимо оно в радикалах или нет.