4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе

Применим изложенный выше общий метод к разысканию уравнений без кратных корней, группа Галуа которых содержится в знакопеременной группе . Для этого, в первую очередь, следует отыскать многочлен точно принадлежащий группе . Простейший такой многочлен описывается в следующей теореме.

Знакопеременной группе точно принадлежит многочлен

(так называемый определитель Вандермонда для неизвестных см. Курс. стр. 50).

Действительно, под воздействием четных подстановок этот многочлен, очевидно, не меняется, а под воздействием нечетных меняет знак.

Соответствующий определяющий многочлен класса (заметим кстати, что этот класс содержит только группу ) имеет, следовательно, вид

где

Таким образом, для того чтобы решить, содержится ли группа Галуа некоторого многочлена с корнями в знакопеременной группе мы должны рассмотреть многочлен

Число (содержащееся в основном поле Р) представляет собой не что иное, как дискриминант многочлена (см. Курс., стр. 343). Это число отлично от нуля (ибо многочлен ) не имеет по условию кратных корней), и поэтому корни многочлена различны. Отсюда ввиду общей теоремы, доказанной в п. 3, вытекает следующий результат:

группа Галуа многочлена тогда и только тогда содержится в знакопеременной группе, когда т. е. когда дискриминант многочлена является квадратом некоторого элемента поля Р.