3. Пифагоровы расширения

Ясно, что если то степень поля над полем Р равна двум. Отсюда непосредственно вытекает, что степень любого пифагорова расширения К поля Р является степенью двойки, т. е. имеет вид

Оказывается, что для нормальных расширений имеет место и обратное утверждение, т. е. нормальное расширение К поля Р тогда и только тогда пифагорово, когда его степень является степенью двойки.

Действительно, если степень нормального расширения К является степенью двойки, то его группа Галуа примарна (по числу 2) и потому разрешима, т. е. обладает разрешимом рядом

все факторы которого являются простыми циклическими группами порядков, делящих порядок группы О (см. ч. II, гл. К п. 4), т. е. в рассматриваемом случае — циклическими группами второго порядка. Пусть

— соответствующая цепочка подполей поля К. Так как то где — корень некоторого квадратного уравнения над полем Поскольку любое квадратное уравнение сводится к уравнению вида можно без потери общности считать, что

Таким образом, причем для любого число принадлежит полю полю Р). Другими словами, расширение К пифагорово.

Из доказанного предложения немедленно вытекает, что любое нормальное подполе нормального пифагорова расширения само является пифагоровым расширением. Действительно, его степень является степенью двойки. Далее, оказывается, что любое пифагорово расширение К содержится в некотором нормальном пифагоровом расширении К.

Действительно, пусть . Проведем индукцию по числу п. Если то и теорему, очевидно, справедлива (за поле К можно принять само поле . Пусть теорема уже доказана для полей степени По определению, любое пифагорово расширение К степени имеет вид , где - пифагорово расширение степени — такое число, что . По предположению индукции, поле L содержится в некотором нормальном пифагоровом расширении L. Рассмотрим минимальный многочлен числа над полем Р. Поскольку и поскольку поле L нормально, многочлен разлагается над полем L на линейные множители:

где . Пусть (так что ) и пусть К — поле разложения многочлена над полем L (так что ). Согласно лемме, доказанной на стр. 83, поле К является нормальным расширением поля Р. Кроме того, так как а то . Наконец, очевидно, что

где — такие числа, что

Поскольку и потому поле К является пифагоровым расширением поля , а значит, и поля Р (ибо пифагорово расширение пифагорова расширения само, очевидно, является пифагоровым расширением основного поля).

Тем самым теорема полностью доказана.

Полученные результаты о пифагоровых расширениях позволяют доказать следующий, очень удобный на практике критерий пифагоровости числа:

корень неприводимого (над полем Р) многочлена тогда и только тогда является пифагоровым числом (т. е. может быть построен циркулем и линейкой), когда степень поля расширения многочлена является степенью двойки.

Действительно, если число пифагорово, то оно содержится в некотором пифагоровом расширении К поля Р и потому в некотором нормальном пифагоровом расширении К. Поскольку поле разложения многочлена нормально, отсюда вытекает, что оно содержится в поле К, и потому его степень является степенью двойки.

Обратно, если степень поля разложения многочлена является степенью двойки, то оно пифагорово (потому что нормально), так что число содержится в пифагоровом расширении поля Р и потому является пифагоровым числом.

Отметим в заключение следующий простой необходимый (но не достаточный!) признак пифагоровости, немедленно вытекающий из доказанной теоремы:

если число пифагорово, то его степень над полем Р (т. е. степень его минимального многочлена ) является степенью двойки.

Действительно, степень любого алгебраического числа делит степень поля разложения его минимального многочлена.