5. Теорема о сопряженных элементах

Пусть — произвольный элемент нормального поля К. Рассмотрим элементы

где

— все автоморфизмы из группы Галуа поля К над полем Р.

При любом автоморфизме S поля К над полем Р числа (1) переходят в числа

т. e. подвергаются лишь некоторой перестановке. Поэтому все коэффициенты многочлена

остаются на месте при любом автоморфизме S, т. е. принадлежат полю Р.

Поскольку многочлен минимальный многочлен элемента а имеют общий корень последовательно, многочлен делится на многочлен (ибо многочлен ) неприводим). С другой стороны, мы знаем (см. п. 2), что все числа (среди этих чисел, вообще говоря, могут быть одинаковые) сопряжены с числом а, т. е. являются корнями многочлена . Таким образом, каждый корень многочлена является корнем многочлена . Пусть

— разложение многочлена в произведение степеней различных неприводимых многочленов (имеющих старшие коэффициенты, равные единице). Так как многочлен делится на многочлен и многочлен неприводим, то многочлен должен совпадать с одним из многочленов (мы предполагаем, что старший коэффициент многочлена равен единице). Пусть для определенности , так что

Так как все корни многочлена являются корнями многочлена а ни один из корней многочлена не может быть (в силу неприводимости этих многочленов) корнем многочлена , то многочлены не могут иметь корней, т. е.

Таким образом,

Отсюда, в частности, следует, что числа исчерпывают (вообще говоря, с повторениями) все числа, сопряженные с числом а. Тем самым доказано, что элементы поля К тогда и только тогда сопряжены (над полем Р), когда существует автоморфизм поля К над полем Р, переводящий один элемент в другой.