2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа

Взаимно однозначное отображение S некоторого поля К на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т. е. если для любых элементов а, поля К

(элемент, в который при автоморфизме S переходит элемент а, мы обозначаем через )

Подчеркнем, что автоморфизм должен быть взаимно однозначным отображением (преобразованием), т. е., кроме условий (1), он должен удовлетворять также следующим требованиям:

а) для любого элемента элемент однозначно определен и принадлежит

б) если , то

в) для любого элемента существует такой элемент , что

Из условия б) следует, что предусмотренный условием в) элемент а определен однозначно. Следовательно, обозначая этот элемент через

мы получим некоторое (очевидно, взаимно однозначное) преобразование (так называемое обратное преобразование). Это преобразование однозначно характеризуется тем, что для любого элемента а

Оказывается, что преобразование также является автоморфизмом. Действительно, для любых элементов а и

и, следовательно, по определению,

Аналогично доказывается, что

Произведением ST двух автоморфизмов S и Т называется преобразование, получающееся в результате последовательного выполнения сначала преобразования S, а затем преобразования Г; для любого элемента а элемент определяется формулой

Непосредственно проверяется, что преобразование ST также является автоморфизмом.

Задача. Доказать, что умножение автоморфизмов ассоциативно.

Умножение автоморфизмов, очевидно, обладает единицей — ею служит тождественный автоморфизм Е, оставляющий все элементы поля К на месте:

По определению (см. формулу (2))

Рассмотрим теперь автоморфизм обратный автоморфизму . По определению

Умножая это равенство справа на S и пользуясь формулой (3), мы получим, что

Подставляя это выражение в формулу (4), получаем

Итак,

Таким образом, мы видим, что относительно операции умножения автоморфизмов множество всех автоморфизмов является группой. Эта группа называется группой автоморфизмов поля К.

Задача. Доказать, что любой автоморфизм оставляет на месте все рациональные числа (в частности, числа 0 и 1).

Пусть теперь Р — некоторое подполе поля К. Автоморфизм S поля К называется автоморфизмом над полем Р, если он все элементы поля Р оставляет на месте, т. е. если для любого элемента

Очевидно, что совокупность всех автоморфизмов над полем Р является подгруппой группы автоморфизмов поля К. Если поле К является нормальным расширением поля Р, то эта подгруппа называется группой Галуа поля К над полем Р и обозначается символом .

Пусть

— произвольный многочлен над полем Р, имеющий в К хотя бы один корень а:

Применяя к равенству (5) автоморфизм 5 из группы Галуа , мы, как легко видеть, получим, что

(ибо для любого ), т. е. что

Таким образом, любой автоморфизм из группы Галуа переводит каждый корень произвольного многочлена над полем Р снова в корень этого же многочлена.

Отсюда, в частности, следует, что для любого числа и любого автоморфизма число сопряжено над полем Р с числом а.

Замечание.

Если считать известным понятие линейного преобразования и тот факт, что линейное преобразование конечномерного пространства тогда и только тогда взаимно однозначно, когда оно никакой отличный от нуля вектор не переводит в нулевой вектор (см. Курс, стр. 205), то можно показать, что для случая конечных (и в частности нормальных) расширений в определении понятия автоморфизма поля К над полем Р условие взаимной однозначности можно опустить, т. е. любое отображение S конечного расширения К в себя, обладающее свойствами (1) и оставляющее, на месте все элементы поля Р, взаимно однозначно, т. е. является автоморфизмом поля К над полем Р.

Действительно, если и , то

Кроме того, для любых элементов поля

Это означает, что отображение S представляет собой линейное преобразование поля К, рассматриваемого как линейное (конечномерное) пространство над полем Р (см. гл. 1, п. 2). Поэтому, в силу отмеченного выше факта из теории линейных преобразований, для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что если , то и . Но если , то в поле К существует такой элемент , что и, следовательно, . Таким образом, действительно, .