3. Четные подстановки. Знакопеременная группа

Как мы видели выше, любая подстановка разлагается в произведение транспозиций. Вообще говоря, одну и ту же подстановку можно представить в виде произведения транспозиций многими различными способами. Например, очевидно, что

(формулы (1) и (2) выражают, как легко видеть, один и тот же факт, но в различных обозначениях).

Лемма. Если произведение нескольких транспозиций равно тождественной подстановке, то число этих транспозиций четно.

Мы докажем эту лемму индукцией по числу s различных чисел, входящих в записи данных транспозиций.

Наименьшее возможное значение числа s равно, очевидно, двум. Если , то рассматриваемое произведение является степенью некоторой транспозиции и поэтому равно тождественной подстановке только тогда, когда показатель степени четен (ибо любая транспозиция имеет порядок 2). Таким образом, в случае лемма доказана.

Предполагая теперь, что лемма уже доказана для любого произведения транспозиций, записи которых содержат менее s различных чисел, рассмотрим некоторое, равное тождественной подстановке произведение транспозиций

в записи которых входит ровно s различных чисел. Пусть I — одно из этих чисел. Пользуясь соотношением (1) и тем, что независимые транспозиции перестановочны, мы можем «переместить вперед» все транспозиции, в запись которых входит число i, т. е. перейти от произведения (3) к равному произведению вида

в котором все числа отличны от числа l. Если , то, пользуясь соотношением (2) или соотношением

мы можем от произведения (4) перейти к произведению такого же вида, но с меньшим . В результате ряда таких преобразований мы либо полностью уничтожим все транспозиции, в записи которых входит число l, либо получим произведение, содержащее только одну такую транспозицию:

Но это произведение переводит, очевидно, число в число l и потому не может быть тождественной подстановкой. Следовательно, последний случай невозможен. Таким образом, в результате наших преобразований мы получим равное тождественной подстановке произведение транспозиций, записи которых не содержат числа l. Никаких новых чисел записи этих подстановок, очевидно, не содержат. Следовательно, согласно предположению индукции, в это произведение входит четное число транспозиций.

Остается заметить, что при описанных преобразованиях число транспозиций либо не меняется (когда мы пользуемся соотношениями (1), (2)), либо уменьшается на две единицы (когда мы пользуемся соотношением . Поэтому исходное произведение (3) также состоит из четного числа транспозиций. Тем самым лемма полностью доказана.

Пусть теперь некоторая подстановка а двумя способами разложена в произведение транспозиций:

(первое разложение содержит транспозиций, а второе q). Тогда

и, следовательно, по доказанной лемме, число четно.

Таким образом, числа и q либо одновременно четны, либо одновременно нечетны. Другими словами, при всех разложениях подстановки в произведение транспозиций четность числа этих транспозиций будет одна и та же.

Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетной — в противном случае. Согласно доказанной теореме, четность подстановки не зависит от выбора ее разложения в произведение транспозиций.

Любая транспозиция, или вообще любой цикл четной длины, является нечетной подстановкой, а любой цикл нечетной длины, в частности любой цикл длины 3, является четной подстановкой. Тождественная подстановка, очевидно, четна.

Если

— разложение подстэновки а в произведение транспозиций, то

откуда следует, что подстановка, обратная - четной подстановке, четна, обратная нечетной — нечетна.

Далее, если

то

Поэтому произведение двух четных или двух нечетных подстановок является четной подстановкой, произведение четной и нечетной подстановок является нечетной подстановкой.

Отсюда следует, что совокупность всех четных подстановок (данной степени ) является подгруппой симметрической группы . Эта подгруппа обозначается через и называется знакопеременной группой степени .

Так как для любой четной подстановки а и произвольной подстановки b произведение является четной подстановкой, то знакопеременная группа является нормальным делителем симметрической группы Так как для любых двух нечетных подстановок а и b подстановка четна, т. е. принадлежит группе то все нечетные подстановки образуют один смежный класс по подгруппе . Следовательно, факторгруппа состоит только из двух элементов, т. е. имеет порядок 2. Поэтому порядок группы , т. е. число четных подстановок степени , равен .