2. Сопряженные группы подстановок

Легко видеть, что для любой группы О подстановок степени и любой подстановки а той же степени совокупность всех подстановок вида где b — произвольная подстановка группы О, представляет собой группу, изоморфную группе О (изоморфизм осуществляется соответствием ).

Эта группа называется группой подстановок, сопряженной группе О (посредством подстановки а).

Очевидно, что множество всех групп подстановок степени распадается на непересекающиеся классы, обладающие тем свойством, что две группы тогда и только тогда принадлежат одному классу, когда они сопряжены. Эти классы называются классами сопряженных групп. Класс, содержащий группу G, мы будем обозначать символом

Легко видеть, что если многочлен точно принадлежит группе О, то многочлен , где точно принадлежит сопряжённой группе

Действительно, равенство , т. е. равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т. е. когда

Отсюда вытекает, что все группы класса задаются многочленами

где

— произвольная полная система представителей смежных классов группы по ее подгруппе О. (Заметим, что разные многочлены из системы (1) вполне могут принадлежать одной и той же группе класса

Вместо многочленов (1) для задания групп класса можно воспользоваться одним многочленом над полем от некоторого нового неизвестного , а именно многочленом

Мы будем называть многочлен определяющим многочленом класса

Подчеркнем, что он зависит от выбора многочлена

Легко видеть, что все коэффициенты определяющего многочлена являются симметрическими многочленами от неизвестных

Задача. Докажите это утверждение.