ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ

1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок

Напомним (см. Курс, стр. 30), что подстановкой называется взаимно однозначное отображение некоторого конечного множества М на себя. Число элементов этого множества называется степенью подстановки. Так как природа элементов множества М не играет в дальнейшем никакой роли, то мы можем считать, что множество М состоит из чисел

Если при данной подстановке а число j переходит в число то подстановку обозначают символом

В этой записи числа можно произвольным образом переставлять (соответственно переставляя числа если - произвольная перестановка чисел , то символ

обозначает ту же подстановку а.

Результат последовательного выполнения двух подстановок а и b (одной и той же степени) также, очевидно, является подстановкой. Эта подстановка называется произведением подстановок а и b и обозначается через Подчеркнем, подстановка получается при выполнении сначала подстановки , а затем подстановки b.

Это замечание существенно, так как при умножение подстановок некоммутативно.

Легко видеть, что умножение подстановок ассоциативно (см. Курс, стр. 34). При умножении любой подстановки а на тождественную подстановку

подстановка а не меняется:

Кроме того, произведение (в любом порядке) подстановки

на подстановку

является тождественной подстановкой

Все сказанное означает, что совокупность всех подстановок степени является группой.

Единицей этой группы служит подстановка , а подстановка, обратная некоторой подстановке а, определяется формулой (1).

Группа называется симметрической группой степени. Ее порядок равен

Подгруппы симметрической группы называются группами подстановок степени . Другими словами, группой подстановок (степени ) называется группа, элементами которой являются подстановки одной и той же степени , а операцией — умножение подстановок.

После этих предварительных замечаний вернемся к группам Галуа уравнений.

Пусть — произвольный многочлен над основным полем Р,

Как мы уже говорили, группой Галуа многочлен (или уравнения ) называется группа Галуа его поля разложения Q, т. е. поля

где все корни многочлена (пронумерован, в некотором определенном порядке). Мы будем предполагать, что многочлен не имеет кратных корней (что, очевидно, не уменьшает общности). Как мы знаем (см. ч. I, гл. 3, п. 2), для любого автоморфизма и любого корня многочлена число а; также является корнем этого многочлена, т. е. существует такой индекс что

Так как автоморфизм S является взаимно однозначным отображением, а все корни различны, то , если Следовательно, символ

является символом некоторой подстановки а степени Чтобы подчеркнуть зависимость подстановки а от автоморфизма, мы будем обозначать эту подстанйвку через Таким образом, будет некоторым отображением группы в симметрическую группу Очевидно, что для любых двух автоморфизмов имеет место равенство

т. е. отображение является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит, из автоморфизмов, оставляющих на месте каждый из корней Но если автоморфизм поля Q над полем Р оставляет на месте все корни то он оставляет на месте и любой элемент, выражающийся в виде многочлена (с коэффициентами из поля т. е. оставляет на месте любой элемент поля Следовательно, ядро гомоморфизма состоит только из товдественного автоморфизма Е, т. е. 9 является мономорфивмом. Другими словами, осуществляет изоморфное отображение группы Галуа на некоторую группу подстановок. Таким образом, группу Галуа любого уравнения (не имеющего кратных корней) можно рассматривать как группу подстановок.

Степень этой группы подстановок равна степени уравнения.

Заметим, что мономорфизм (а потому и его образ ) существенно зависит от нумерации корней многочлена . Поэтому, рассматривая группу Галуа некоторого многочлена как группу подстановок, мы не должны менять первоначально введенной нумерации корней.