II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ

ГЛАВА 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП

1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах

Пусть — произвольный гомоморфизм и — некоторая подгруппа группы О. Рассмотрим совокупность всех элементов группы О, переходящих при гомоморфизме в элементы подгруппы . Таким образом, тогда и только тогда, когда

Очевидно, что подмножество Н является подгруппой группы О. Эта подгруппа обозначается через и называется полным прообразом подгруппы Н при гомоморфизме . В этой терминологии ядро гомоморфизма есть не что иное, как полный прообраз единицы группы О.

Легко видеть, что полный прообраз нормального делителя Н группы О является нормальным делителем группы О (доказать!). Так как то определен индуцированный гомоморфизм

Без труда проверяется (см. ч. I, гл. 2, п. 4, где разобран случай что гомоморфизм является мономорфизмом. Таким образом, для любого гомоморфизма и любого нормального делителя индуцированный гомоморфизм

где является мономорфизмом, если отображение эпиморфно, то отображение изоморфно.

Если то это предложение сводится к доказанной ранее теореме о гомоморфизмах.

Задача. Доказать, что

1) подгруппа Н группы О тогда и только тогда является полным прообразом некоторой подгруппы группы О при гомоморфизме когда

2) если то тогда и только тогда, когда

3) если гомоморфизм является эпиморфизмом, то тогда и только тогда, когда

Вывести отсюда, что эпиморфизм определяет некоторое взаимно однозначное соответствие между множеством всех подгрупп группы О и множеством тех подгрупп группы О, которые содержат ядро эпиморфизма