ГЛАВА 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ n >= 5

1. Поле формальных степенных рядов

Пусть Р — произвольное поле характеристики 0 (например, числовое). Формальным степенным рядом над полем Р от переменной называется выражение вида

где произвольные элементы поля Р. Подчеркнем, что ряд (1) мы рассматриваем чисто формально, не накладывая никаких ограничений на сходимость (к тому же для произвольного (не числового) поля Р говорить о сходимости ряда (1) не имеет смысла).

Среди коэффициентов ряда (1) могут быть равные нулю. Мы будем считать, что при удалении (а значит, и при прибавлении) членов, имеющих нулевые коэффициенты, ряд (1) не меняется.

Степенные ряды можно складывать и перемножать точно так же, как и многочлены. Легко проверяется, что относительно сложения и умножения совокупность всех формальных степенных рядов над полем Р от переменной является кольцом. Оказывается, что кольцо является полем, т. е. для любого отличного от нуля степенного ряда существует такой степенной ряд g, что

Действительно, любой отличный от нуля степенной ряд можно записать в следующем виде:

где — некоторое целое число (положительное, отрицательное или нуль), а . Определим числа из уравнений

Так как то эти уравнения последовательно позволяют однозначно определить числа . Положив теперь

мы, очевидно, получим, что

Тем самым наше утверждение полностью доказано.

Любой многочлен мы можем (добавляя члены с нулевыми коэффициентами) рассматривать как степенной ряд. Следовательно, кольцо всех многочленов над полем Р от переменной является подкольцом кольца Но так как кольцо является полем, то вместе с любыми многочленами оно содержит также и все их отношения, т. е. все дробно-рациональные функции (рациональные дроби) от переменной с коэффициентами из поля Р (этот факт является алгебраическим эквивалентом того известного обстоятельства, что любая рациональная дробь разлагается в степенной ряд). Таким образом, поле всех рациональных дробей является подполем поля

Пусть

— произвольный многочлен над полем (со старшим коэффициентом, равным единице). Коэффициентами этого многочлена являются степенные ряды над полем Р от переменной . Мы будем предполагать, что эти коэффициенты не содержат членов с отрицательными степенями переменной , т. е. что

Рассмотрим многочлен (над полем Р)

(этот многочлен получается из многочлена подстановкой Оказывается, что если многочлен над полем Р разлагается на произведение двух взаимно простых многочленов

то надполем существуют такие многочлены , что

причем при подстановке многочлен переходит в многочлен а многочлен многочлен

Для доказательства мы запишем многочлен в виде формального ряда

где

и рассмотрим систему уравнений

относительно неизвестных многочленов

Докажем, что всегда существуют такие многочлены (3), (4), что, во-первых, они удовлетворяют системе (2), а во-вторых, степень каждого многочлена (3) меньше степени многочлена , а степень каждого многочлена (4) меньше степени q многочлена .

Полагая с этой целью

мы перепишем уравнения (2) в следующем виде:

Предположим теперь, что для некоторого k уже найдены многочлены удовлетворяющие перечисленным выше условия. Тогда многочлен мы можем рассматривать как известный нам многочлен. Степень этого многочлена, очевидно, меньше чем

Так как многочлены взаимно просты, то существуют такие многочлены что

(см. Курс, стр. 141). Пусть — остаток от деления многочлена на многочлен

Тогда

т. е.

где

По построению, степень многочлена меньше q и потому степень многочлена меньше Следовательно, степень многочлена меньше

Заметим, что многочлены определяются единственным образом. Действительно, если

и

где степени многочленов меньше , а степени многочленов меньше q, то

откуда следует (в силу взаимной простоты многочленов ) что разность делится на многочлен Поскольку степень многочлена по условию меньше степени q многочлена это возможно только тогда, когда , т. е. когда Аналогично

Предположение о том, что уже найдены многочлены нам было нужно только для того, чтобы рассматривать многочлен известный. Так как многочлен нам известен с самого начала (он равен многочлену ), то все изложенные рассуждения применимы и к случаю Таким образом, начиная с мы можем последовательно (и притом единственным образом) определить все многочлены (3) и (4). Положим теперь

Собирая вместе члены, содержащие одинаковые степени переменной , мы видим, что и являются многочленами над полем (степеней и q соответственно). С другой стороны, перемножая (формально) их выражения (5) и пользуясь соотношениями (2), мы, очевидно, получим, что

Тем самым сформулированная выше теорема полностью доказана.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение, легко вытекающее из доказанной теоремы:

если поле Р алгебраически замкнуто, то многочлен

степени над полем имеющий старший коэффициент, равный единице, приводим, когда выполнены следующие условия.

1) все его коэффициенты не содержат членов с отрицательными степенями переменной

2) хотя бы один коэффициент имеет свободный член, т. е. содержит член с нулевой степенью переменной

3) хотя бы один коэффициент не имеет свободного члена, т. е. начинается с члена, имеющего положительную степень относительно

Действительно, в силу условия 1) для многочлена определен многочлен (над полем Р), получающийся из многочлена подстановкой . В силу условия 2) многочлен кроме члена имеет еще по крайней мере один член с отличным от нуля коэффициентом. Поэтому в поле Р существует хотя бы один отличный от нуля корень а многочлена (напомним, что поле Р предполагается алгебраически замкнутым). Пусть — наивысшая степень двучлена z — а, на которую делится многочлен Таким образом,

где многочлен взаимно прост с многочленом Это разложение не тривиально, т. е. степень многочлена не равна п. Действительно, если , то и, следовательно, все коэффициенты многочлена отличны от нуля (напомним, что поле предполагаем полем характеристики 0), что противоречит условию 3). Согласно доказанной выше теореме, разложение (6) определяет некоторое разложение многочлена F(z). Тем самым приводимость многочлена доказана (ибо степень многочлена ) равна и, следовательно, меньше ).